理学排队论完整版.pptx

§4.1标准的[M/M/c]模型

即：[M/M/c/∞/∞/FCFS]

标准的[M/M/C]模型与标准的[M/M/1]模型的各特征规定相同，另外，各服务台工作是相互独立且平均服务率相同，即μ1=μ2=μ3=…=μc=μ，于是整个服务机构的平均服务率为：cμ(n≥c时),nμ(nc时);从上图的队列图，分析系统中的状态转移关系，状态转移图见下图。;由上图知，当nc时，顾客被服务离去的速率为nμ,当n?c时，为cμ，故可得差分方程：;利用递推法解该差分方程可求得状态概率为：;系统的运行指标为：;例4.某售票所有三个窗口，一个队列形成M/M/C系统。顾客到达服从泊松流λ=0.9人/M，服务时间服从负指数分布，μ=0.4人/M，求：

(1)空闲的概率;

(2)平均队长Ls，Lq;

(3)平均等待时间和逗留时间Wq,Ws;

(4)顾客到达后必须等待的概率.;解:(1);(2);(4);P0和Lq是由c和??完全确定的,Wqμ也可以由c和??完全确定,下面是Wqμ数值表：;§4.2M/M/C型系统和C个M/M/1型系统的比较;现仍以上面的例4进行分析。

如果除排队方式外，其它条件不变，顾客到达每个窗口前各排一队，且进入队列后坚持不换，这就形成了上面的队列，每个队列的平均到达率为λ1=λ2=…=λc=λ/c=0.9/3=0.3人/M。这样，原来的系统就变成了λ=0.3人/M的3个M/M/1型子系统，且相互独立。;按M/M/1以及M/M/c分别求解以下指标：

服务台空闲概率

顾客必须等待概率

平均队长

平均队列长

平均逗留时间

平均等待时间;从上表可知，M/M/C系统明显比C个M/M/1系统的指标优。;§4.3系统容量有限制的情形（M/M/C/N/∞）;其中：;运行指标为：;§4.4顾客源为有限的情况（M/M/C/∞/m）;§5一般服务时间的（M/G/1）模型;这就是著名的P-K公式，只要知道λ,E[T],Var[T],无论T服从什么分布，各项运行指标都可算出来。;§5.2定长服务时间M/D/1模型

该情况的服务时间是确定的常数，如一条装配线上完成一件工作的时间是常数。则:T=1/μVar[T]=0

Ls=ρ+ρ2/2(1-ρ)

Lq=Ls-ρ=ρ2/2(1-ρ)

Ws=L/λ=(2-ρ)/2μ(1-ρ)

Wq=Lq/λ=ρ/2μ(1-ρ);例5某售票口，顾客平均2.5分钟到达一个，窗口对顾客的平均服务时间是2分钟,顾客在售票口前至少要占用1分钟，且服务时间服从：f(y)=e1-yy≥1

0y1

求Ws,Wq;人;§5.3爱尔朗服务时间M/Ek/1模型

如图，若顾客必须经过k个服务站，在每个服务站的服务时间Ti相互独立，并服从相同的负指数分布（参数为kμ），那么服从k阶爱尔朗分布。;则M/Ek/1模型的运行指标为：;§6排队系统优化;§6.1M/M/1模型中的最优服务率?;2、系统容量为N的情形

该系统中顾客到达后在系统中超过N个时，将被拒绝，拒绝概率为PN，则1-PN为接受概率，所以λ(1-PN)为单位时间内进入系统的顾客平均数，也是单位时间内实际服务的平均数。

λ(1-PN)=μ(1-P0).

设每服务一个顾客收入G元，于是单位时间收入期望值为λ(1-PN)G元，纯利润为：;解上式的最优解μ*;§6.2M/M/C模型中最优服务台数C;因为z(c*)是最小值，则有：;合并化简得：;例6．某检验中心，为各用户检验产品，用户每天到达按泊松流λ=48个/天，每个用户每天停工损失6元，服务时间服从负指数分布μ=25个/天，设一个检验台每天服务成本4元，其他条件为标准M/M/C模型，问设几个服务台费用最少？

解：C?s=4元，Cw=6元，λ=48，μ=25,下表是服务台C=1,2,3,…时各Ls值：;计算L(C*)-L(C*+1)及L(C*-1)-L(C*)

c=1∞--

c=218.930∞

c=30.61218.930

c=40.1160.612