2025年高考数学一轮复习练习题含答案解析 第6节 向量法求空间角.pdfVIP

2025年高考数学一轮复习练习题含答案解析

第6节向量法求空间角

考试要求1.掌握空间向量的应用.2.会用空间向量求空间角.

知识诊断·基础夯实

【知识梳理】

1.两条异面直线所成的角

设异面直线l，l所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉

12

u·v

|||u·v|

|＝|u||v|＝.

|u|||

v

2.直线和平面所成的角

直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向

u·n

uαnsinθ|cosun||||u·n|.

量为，平面的法向量为，则＝〈，〉＝|u||n|＝

|u||n|

3.平面与平面的夹角

(1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中

不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.

(2)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n，n，平面α与平面β的夹角

12

n·n

12

|n·n|

θcosθ|cosnn|||12.

为，则＝〈，〉＝|n||n|＝

1212

|n||n|

12

[常用结论]

1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量u与平面的法向量n所成角的余弦值的绝

对值，即sinθ＝|cos〈u，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈u，n〉|.

π

0，

2.二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是2.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()

(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角.()

ππ

0，0，

(4)两异面直线夹角的范围是2，直线与平面所成角的范围是2，二面角

的范围是[0，π].()

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

解析(1)两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角；(2)直线的方

向向量u，平面的法向量n，