3.1 离散型随机变量的均值 (1).pptxVIP

3.1离散型随机变量的均值

我们回顾一下本章§2中的例1：已知在10件产品中有2件不合格品.从这10件产品中任取3件,用X表示取得产品中的不合格品的件数.我们可求得X的分布列如表：k012P(X=k)现在我们关心,取3件该产品时,平均会取到几件不合格品？那么,怎样的一个数能够“代表”这个随机变量取值的平均水平呢?情境导入

1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质.2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值.3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.1.通过离散型随机变量的均值的学习,体会数学抽象的素养．2.应用随机变量的均值解题,提升数学运算的素养.素养要求课标要求

问题1设有12个西瓜,其中有4个质量是5kg,3个质量是6kg,5个质量是7kg,求这12个西瓜的平均质量.探究点1离散型随机变量的均值分析由平均数的意义,西瓜的平均质量应为12个瓜的总质量除以西瓜的总个数,即①式也可写成如下形式:①②探究导学

其中分别为质量是5kg,6kg和7kg的西瓜个数在西瓜总个数中所占的比例.②式告诉我们,如果知道各个质量所占的比例,则平均质量等于各个质量乘相应的比例,再求和.那么,在前面“取不合格品的问题”中,根据X的分布列,有③③式表示,在一次的抽取中,3件产品中平均有0.6件是不合格品.这样,平均数0.6就代表“取次品问题”中随机变量X的平均取值.

数学期望设离散型随机变量X的分布列如下表：xix1x2…xi…xnP(X=xi)p1p2…pi…pn则称EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望（简称期望）.

均值EX刻画的是X取值的“中心位置”,反映了离散型随机变量X取值的平均水平,是随机变量X的一个重要特征.根据均值EX的定义可知,随机变量的分布完全确定了它的均值;两个不同的分布可以有相同的均值.这表明,随机变量的分布描述了随机现象的规律,从而也决定了随机变量的均值;而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征,并不能完全决定随机变量的性质.

例1设随机变量X服从参数为p的两点分布,求EX.解依题意知EX=0·P(X=0)+l·P(X=1)=0·(1-p)）+1·p=p.因此,当X服从参数为p的两点分布时,其均值EX=p.

例2设X表示抛掷一枚均匀骰子掷岀的点数,求EX.解依题意知X的分布列为i123456P(X=xi)根据均值的定义,可知

例3一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黄球,从中同时取出2个,则取出的红球个数的均值是多少？解设X表示取出红球的个数,则X的取值为0,1,2

根据均值的定义,可知故X的分布列如表X012P

例4根据气象预报,某地区近期暴发小洪水的概率为0.25,暴发大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,为保护设备,有以下3种方案:方案1：运走设备,搬运费为3800元.方案2：建一保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防小洪水.方案3：不釆取措施,希望不发生洪水.此时遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000元.你会选择哪一种方案呢？

解用X1,X2和X3分别表示以上3种方案的损失.采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元,即X1=3800,故EX1=3800（元）.采用方案2,遇到大洪水时,损失2000+60000=62000（元）;没有大洪水时,损失2000元.因此,EX2=62000×0.01+2000×(1-0.01)=2600（元）.采用方案3,遇到大洪水时,损失60000元;遇到小洪水时,损失10000元;无洪水时,损失为0元.

因此,EX3=60000×0.01+10000×0.25+0×(1-0.01-0.25)=3100（元）由此可见,平均而言方案2的损失最小,可供选择.

【证明】若Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量.因为P(Y=axi+b)=P(X=xi),i=1,2,…,n,所以,Y的分布列为··················E(aX+b)=aE(X)+b探究点2离散型随机变量均值的性质

··················?

例5猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示：规则如下：按照A,B,C的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首,求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元10002