专题04 锐角的三角比（考点清单，知识导图+4个考点清单+6种题型解读）原卷版-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）.docx

专题04锐角的三角比（考点清单，知识导图+4个考点清单+6种题型解读）

【清单01】锐角的三角比定义

一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.

正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即；

余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即；

正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即；

余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即；

【清单02】锐角的三角比性质

①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小；

②若，则；

③.

【清单03】特殊角的三角比

1

1

【清单04】锐角的三角比

【考点题型一】锐角三角比的意义

【例1】在中，，那么边的长为（）

A． B． C． D．

【变式1-1】在中，，，那么等于（??）

A． B． C． D．

【变式1-2】.在中，，，，那么下列结论正确的是（????）

A． B． C． D．

【变式1-3】如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（????）

A． B． C． D．

【变式1-4】已知是锐角，化简：．

【变式1-5】如图，已知在中，，分别是边上的高，连接，那么和的周长比为．

【变式1-5】.若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即顶角，若等腰，，且，则．

【变式1-6】.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB=AD，BD=4，．

（1）求AB的长；

（2）求点C到直线AB的距离．

【考点题型二】求角的三角比

【例2】（24-25九年级上·上海·期中）在中，，那么的值等于（???）

A． B． C． D．

【变式2-1（23-24九年级上·上海·期中）在直角坐标系中，已知，为坐标原点，与轴负半轴的夹角为，则的正切为．

【变式2-2】（24-25九年级上·上海·期中）中，，，那么顶角的正弦值等于．

【变式2-3】（21-22九年级下·上海·期中）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为

??

【变式2-4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么．

【变式2-5】（2024·上海青浦·模拟预测）如图是一张矩形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接．若，则的正弦值为．

【变式2-6】（2024·上海奉贤·二模）如图，正方形的边长为，点在延长线上，连接，如果与相似，那么．

【变式2-7】（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在中，，求的值．

【变式2-8】（2024·上海普陀·二模）如图，在中，，点在边上，，．

??

(1)求BD的长；

(2)求的值．

【变式2-9】（2024九年级上·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．

??

(1)求与的值；

(2)过点作直线轴与直线交于点，求的值．

【变式2-10】（2024·上海长宁·三模）如图，在直角梯形中，，，．

(1)求梯形的面积；

(2)连接，求的正切值．

【变式2-11】（23-24九年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知分别是与轴，轴的交点．

(1)在线段AB上，，求的坐标；

(2)在第一问的条件下，求的值；

(3)若在直线AB上，，求的坐标．

【考点题型三】已知三角比求边长

【例3】（2023·上海虹口·一模）如图，在中，已知，，，那么的长为（????）

A． B． C．4 D．5

【变式3-1】（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在中，，，，那么的长是（????）

A． B． C． D．

【变式3-2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知平面直角坐标系中点和，满足（为原点），那么的值为．

【变式3-3】（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，菱形ABCD的边长为5，，E是边CD上一点（不与点C、D重合），把△ADE沿着直线AE翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为．

【变式3-4】（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为.（用含的代数式表示）

??

【变式3-5】（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知是等边三角形，，是边上一动点（不与、点重合），垂直平分BD，分别交AB、于点、，设，．

??

(1)求证：；

(2)求关于的函数解析式，并