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《直线的方向向量与平面的法向量》同步学案

问题情境导入

任何一种工具的发明,都是为了方便解决问题.蒸汽机的发明推动了工业革命：计算机的出现解决了复杂的运算问题,提升了运算速度；网络的发明与发展促进了全球化的发展与地球村的形成.向量作为一种工具,它的应用又体现在哪些方面呢？

新课自主学习

自学导引

1.设点A,B是直线l上不重合的任意两点,称______为直线l的方向向量.

2.已知点M是直线l上的一点,非零向量a是直线l的一个方向向量那么对于直线l上的任意一点P,一定存在实数t,使得______.该式称为直线l

的______.

3.如果一条直线l与一个平面垂直,那么就把直线l的______n叫作平面的______,则______.

4.设点M是平面内给定的一点,向量n是平面的一个______,那么对于平面内任意一点P,必有______.该式称为平面的一个______.

在空间直角坐标系中,若n=(A,B,C),点M的坐标为,则对于平面内任意一点P(x,y,z),有______.该式叫作平面的______.

答案

1.

2.向量表示

3.方向向量法向量n⊥a

4.法向量向量表示式方程

预习测评

1.已知A(3,-2,4),B(0,5,-1),若,则C的坐标是()

A.

B.

C.

D.

2.若点,在直线l上,则直线l的一个方向向量为()

A.

B.

C.

D.

3.若a=(1,2,3)是平面的一个法向量,则下列向量中能作为平面的法向量的是()

A.(0,1,2)

B.(3,6,9)

C.(-1,-2,3)

D.(3,6,8)

4.过点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)的平面的一个法向量为______.

答案

1.

答案：B

解析：直接代入计算即可.

2.

答案：A

解析：,所以,所以是直线l的一个方向向量.

3.

答案：B

解析：因为(3,6,9)=3(1,2,3)=3a,a⊥,所以(3,6,9)可作平面的一个法向量.

4.

答案：(1,1,1)(答案不唯一)

解析：设法向量n=(x,y,z),由得所以x=y=z,不妨取x=1,则y=z=x=1,所以n=(1,1,1)是该平面的一个法向量.

新知合作探究

探究点1直线的方向向量与直线的向量表示

知识详解

1.设点A,B是直线l上不重合的任意两点,称为直线l的方向向量.

2.直线l的向量表示：已知点M是直线l上的一点,非零向量a是直线l的一个方向向量.那么对于直线l上的任意一点P,一定存在实数t,使得这个式子称为直线l的向量表示。

特别提示对直线的方向向量的理解：

(1)非零性：直线的方向向量是非零向量.

(2)不唯一性：直线l的方向向量有无数多个,可以分为方向相同和相反两类,它们都是共线向量.即：如果是直线l的一个方向向量,则对任意的实数≠0,空间向量也是直线l的一个方向向量,而且直线l的任意两个方向向量都平行.

(3)给定空间中的任一点A和非零向量a,就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线.

典例探究

例1若点A,B在直线l上,则直线l的一个方向向量为()

A.

B.

C.

D.

解析=(-1,2,4),与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量.

答案A

变式训练1已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点且

,则点C的坐标为()

A.

B.

C.

D.

答案C

解析因为C在线段AB上,所以.

设C(x,y,z),则由得,(x-4,y-1,z-3),

即,解得

所以点C的坐标为

探究点2平面的法向量

知识详解

1.如果一条直线l与一个平面垂直,那么就把直线l的方向向量n叫作平面的法向量,则n⊥.

2.设点M是平面内给定的一点,向量n是平面的一个法向量,那么对于平面内任意一点P,必有=0.该式称为平面的一个向量表示式.

在空间直角坐标系中,若n=(A,B,C),点M的坐标为,则对于平面内任意一点P(x,y,z),有A+B十C(=0.该式叫作平面的方程.

特别提示

1.平面的法向量一定是非零向量.

2.一个平面的所有法向量都互相平行.

3.若向量n是平面的法向量,向量m所在直线与平面平行或在平面内,则均有n·m=0；反之,若向量m满足n·m=0,则m所在的直线与平面平行或在平面内.

典例探究

例2在正方体中,求证：是平面的一个法向量.

解析建立直角坐标系后表示出各点的坐标,进而验证与平面内的某两个不平行的向量垂直即可得证.

答案建立空间直角坐标系,如图.

不妨设正方体的棱长