现代数字信号习题二答案.docVIP

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MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h习题二

1、求证：。

证明：

2、令和不是相关的随机信号，试证：若，则和。

证明：(1)

(2)

即

3、试证明平稳随机信号自相关函数的极限性质，即证明：

①当时，；

②当时,。

证明：（1）

（2）

4、设随机信号，为正常数，A、B为相互独立的随机变量，且,.试讨论的平稳性。

解：（1）均值为

（2）自相关函数为

相互独立

故：与起始时间无关

（3）

可见，该信号均值为一常数，自相关函数与起始时间无关，方差有限，故其为一个广义平稳的随机信号。

5、设随机信号，A、B是两个相互独立的随机变量，且。求的均值、方差、相关函数和协方差函数。

解：（1）

（2）

（3）

6、若两个随机信号，分别为，，其中,是各自平稳、零均值相互独立的随机信号，且具有相同的自相关函数。试证明是广义平稳的。

证明：

均值为零、自相关函数与时间t无关、方差有限，故其是广义平稳的

7、设随机信号，式中A、为统计独立的随机变量，在[0，]上均匀分布。试讨论的遍历性。

解：（1）首先讨论的平稳性

与t无关

故是平稳随机信号

（2）遍历性

故不具有广义遍历性

8、随机序列，在[0，]上均匀分布，是否是广义平稳的？

解：由已知得

①

eq\o\ac(○,2)

eq\o\ac(○,3)

均值为与t无关常数，自相关函数与t无关，瞬时功率有限，故平稳

9、若正态随机信号的相关函数为：

①；②

试分别写出随机变量，，的协方差矩阵。

解：由已知得

当时，

②当时，

10、如果信号是实函数，在下列函数中，哪些是功率谱函数？

①；②；③；

④；⑤；⑥

解：由已知得，实函数的功率谱函数为实偶函数，应满足：

则可批判断⑤为功率谱函数，其中①不满足（d）；②不满足（a）；③不满足（c）；④不满足（b）；⑥不满足（a）。

11、设，是相互独立的平稳信号，它们的均值至少有一个为零，功率谱为，，新的随机信号。求：①的功率谱；②和的互谱密度。

解：由已知得，，独立且平稳平稳

12、已知平稳高斯信号的自相关函数为。求的一阶概率密度函数及二阶概率密度函数，其中，。

解：由平稳随机信号自相关函数的性质可得

则一阶概率密度函数

对于二阶概率密度函数

其中为x的协方差矩阵，为均值

13、令表示白噪声序列，表示一个与不相关的序列，，。试证明序列是白色的，即，式中A是常数。

证明：由已知得

为一与不相关的序列为一常数

令

即得证。

14、设随机信号，其中是一个平稳信号，y是一个与无关的随机变量。试讨论的遍历性。

解：由已知得，令

平稳性

与n无关

与n无关

平稳

遍历性

不为常数，则信号不具有遍历性。