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科大附中2022-2023学年高三下学期第一次月考数学试题试卷
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,若A?B,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
2.已知函数,,若,对任意恒有,在区间上有且只有一个使,则的最大值为()
A. B. C. D.
3.函数在上单调递增,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
4.已知函数,,若成立,则的最小值为()
A.0 B.4 C. D.
5.抛物线方程为,一直线与抛物线交于两点,其弦的中点坐标为,则直线的方程为()
A. B. C. D.
6.为计算,设计了如图所示的程序框图,则空白框中应填入()
A. B. C. D.
7.复数(i是虚数单位)在复平面内对应的点在()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.若双曲线的一条渐近线与直线垂直,则该双曲线的离心率为()
A.2 B. C. D.
9.复数满足(为虚数单位),则的值是()
A. B. C. D.
10.设,则()
A. B. C. D.
11.若点是角的终边上一点,则()
A. B. C. D.
12.设,,则的值为()
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.的展开式中的系数为________________.
14.已知不等式组所表示的平面区域为,则区域的外接圆的面积为______.
15.已知F为抛物线C:x2=8y的焦点,P为C上一点,M(﹣4,3),则△PMF周长的最小值是_____.
16.在的二项展开式中,所有项的系数之和为1024,则展开式常数项的值等于_______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数的最小正周期是,且当时,取得最大值.
(1)求的解析式;
(2)作出在上的图象(要列表).
18.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),点.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程,并指出其形状;
(2)曲线与曲线交于,两点,若,求的值.
19.(12分)已知函数(为实常数).
(1)讨论函数在上的单调性;
(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.
20.(12分)已知首项为2的数列满足.
(1)证明:数列是等差数列.
(2)令,求数列的前项和.
21.(12分)已知函数,其中.
(1)函数在处的切线与直线垂直,求实数的值;
(2)若函数在定义域上有两个极值点,且.
①求实数的取值范围;
②求证:.
22.(10分)[选修4-5:不等式选讲]
设函数.
(1)求不等式的解集;
(2)已知关于的不等式在上有解,求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.D
【解析】
先化简,再根据,且A?B求解.
【详解】
因为,
又因为,且A?B,
所以.
故选:D
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
2.C
【解析】
根据的零点和最值点列方程组,求得的表达式(用表示),根据在上有且只有一个最大值,求得的取值范围,求得对应的取值范围,由为整数对的取值进行验证,由此求得的最大值.
【详解】
由题意知,则其中,.
又在上有且只有一个最大值,所以,得,即,所以,又,因此.
①当时,,此时取可使成立,当时,,所以当或时,都成立,舍去;
②当时,,此时取可使成立,当时,,所以当或时,都成立,舍去;
③当时,,此时取可使成立,当时,,所以当时,成立;
综上所得的最大值为.
故选:C
【点睛】
本小题主要考查三角函数的零点和最值,考查三角函数的性质,考查化归与转化的数学思想方法,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.
3.B
【解析】
对分类讨论,当,函数在单调递减,当,根据对勾函数的性质,求出单调递增区间,即可求解.
【详解】
当时,函数在上单调递减,
所以,的递增区间是,
所以,即.
故选:B.
【点睛】
本题考查函数单调性,熟练掌握简单初等函数性质是解题关键,属于基础题.
4.A
【解析】
令,进而求得,再转化为函数的最值问题即可求解.
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