专题05 垂直平分线综合应用（解析版）.pdfVIP

专题05垂直平分线综合应用

线段的垂直平分线与线段的两种关系：位置关系-垂直，数量关系-平分，利

用垂直平分线的这些性质可以求线段的长度、角的度数等，还可以解决实际生

活中的选址等问题。

解题思路

垂直平分线作图步骤：

1

1.分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；

2

2.作直线CD，CD为所求直线

垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到两边的距离相等。

典例分析

【典例1】（2022秋•秦淮区月考）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD

平分∠ABC．

（1）若∠ADB＝48°，求∠A的度数；

（2）若AB＝5cm，△ABC与△ABD的周长只差为8cm，且△ADB的面积为

2

10cm，求△DBC的面积．

【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC，

∵DE垂直平分BC，

∴DB＝DC，

∴∠DBC＝∠C＝∠ABD，

∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2∠ABD＝48°，

∴∠ABD＝24°，

∴∠A＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣24°﹣48°＝108°；

（2）∵DE垂直平分BC，

∴DA＝DC，DE⊥BC，

∵△ABC与△ABD的周长只差为8cm，

∴（AB+BC+AD+DC）﹣（AB+AD+BD）＝BC＝8cm，

过D作DH⊥AB于H，

∵BD平分∠ABC，

∴DE＝DH，

2

∵AB＝5cm，△ADB的面积为10cm，

∴AB•DH＝10，

∴DH＝DE＝＝4cm，

2

∴△ABC的面积＝10+BC•DE＝10+×8×4＝26（cm），

2

∴△DBC得面积＝26﹣10＝16（cm）．

2

答：△BCD的面积为16cm．

【变式1-1】（2022秋•丛台区校级期末）如图，已知AB＝AC，BC＝6cm，△

CBD周长为14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△ACB的周长为

（）

A．22cmB．16cmC．17cmD．20cm

【答案】A

【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，

∴AD＝BD，

∴△CBD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝14cm，

∵BC＝6cm，

∴AC＝14﹣6＝8（cm），

∵AB＝AC，

∴△ACB的周长为：8+8+6＝22（cm），

故选：A．

【变式1-2】（2022秋•天山区校级期末）如图，在△ABC中，BD是△ABC

中线，EF是BC边的中垂线，且BD与EF相交于点G，连结AG，CG，若四

边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为8和13，则△ABC的面积为（）

A．18B．20C．22D．36

【答案】C

【解答】解：∵四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为8和13，

∴S△AGD＝13﹣8＝5，

∵BD是△ABC的中线，

∴S△CGD＝S△AGD＝5，

∴S△CGE＝3，

∵EF是BC边的中垂线，

∴E是BC