精品解析：山东省烟台市2023-2024学年高一下学期期中学业水平诊断数学试题（解析版）.docxVIP

2023～2024学年度第二学期期中学业水平诊断

高一数学

注意事项：

1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．

2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．

3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1.下列说法正确的是（）

A.若，则或 B.若，则

C.若，则 D.若，则，夹角为锐角

【答案】C

【解析】

【分析】利用平面向量的相关概念及数量积定义与计算公式一一判定选项即可.

【详解】对于A，两向量模长相等，不一定共线，故A错误；

对于B，若，不能得到，

比如为任意非零向量，时满足，但不一定相等，故B错误；

对于C，若，则有，所以，故C正确；

对于D，若同向，即夹角为零角时仍能满足，故D错误.

故选：C

2.若复数满足，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的除法法则和共轭复数的概念即可求解.

【详解】由,得，

所以.

故选：B.

3.在高为6的三棱柱中，是底面的水平放置的直观图，如图，，，则三棱柱的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用斜二测画法规则求出底面三角形面积，再利用柱体体积公式计算即得.

【详解】直观图对应的原图形为如图所示的，其中，

，因此的面积，

所以三棱柱的体积为.

故选：D

4.在边长为2的正三角形中，点满足，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用等边三角形的性质结合平面向量数量积的几何意义计算即可.

【详解】

如图所示，取的中点，则，

由题意易知，

不难发现在上的投影为，所以.

故选：A

5.若，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据投影向量的定义计算即可.

【详解】由题意可知在上的投影向量，

所以，又，所以

故选：C

6.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（）

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围和三角方程即可求解.

【详解】由及正弦定理，得

,

所以,

所以,

即，

即，解得或,

当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形;

当时，又，所以，所以为直角三角形;

综上所述，为等腰或直角三角形.

故选：D.

7.已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据正四棱台体积公式先求棱台的高，再利用勾股定理计算侧棱即可.

【详解】

如上图所示，正四棱台，，易知即棱台的高，

由棱台的体积公式知：，

所以，

所以侧棱长.

故选：C

8.在锐角三角形中，若，则的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据余弦定理化简得到，结合正弦定理、三角恒等变换公式，推导出，可得，然后将化简为，结合为锐角三角形算出角的取值范围，进而根据正弦函数的性质算出答案．

【详解】解：根据，

结合余弦定理，

得，即，

由正弦定理化简，

得，

其中，

所以，

结合、为三角形的内角，

可得，即，

因为为锐角三角形，所以，即，

解得，

而

，

因为，

所以，

即的取值范围为．

故选：B．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知复数，是关于的方程的两根，则（）

A. B.

C. D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】在复数域解一元二次方程可得，，再利用复数的乘法运算、共轭复数定义、模长公式一一判定选项即可.

【详解】根据题意知，所以，

不妨令，，

则，，

，而，

故A、B、C正确，D错误.

故选：ABC

10.一圆锥的侧面展开图如图所示，，弧长为，为线段的中点，为弧中点，则（）

A.该圆锥的体积为

B.在扇形中，

C.该圆锥内半径最大的球的表面积为

D.该圆锥内接正四棱柱表面积的最大值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据已知条件及弧长公式，利用圆锥的体积公式及向量的线性运算，再利用数量积的定义，等体积法锥体内切球半径表面积和球的表面积公式，结合正四棱柱的表面积公式和二次函数的性质即可求解.

【详解】因