复合材料力学课件第02章-各向异性弹性力学基础.ppt

第二章各向异性

弹性力学根底§2.2各向异性弹性体的本构关系§2.1各向异性弹性力学根本方程§2.3正交各向异性材料的工程弹性常数回总目录

§2.1各向异性弹性力学

根本方程各向异性弹性力学根本方程包括：§2.1(1)1°工程应力方程2°工程应变方程3°平衡方程4°几何关系方程5°变形协调方程6°物理方程

工程应力

工程应变

几何关系方程

变形协调方程〔1〕

变形协调方程〔2〕

平衡方程注：以上关系与各向同性体相同

物理方程(本构关系)Hooke定理：记作{?}=[C]{?}，[C]—刚度矩阵，可以证明，[C]是对称矩阵，因此它只有21个独立变量。

物理方程同样，[S]也是对称矩阵，它也有21个独立变量。同样，可用应力分量表示应变分量：[S]＝[C]-1—柔度矩阵。

§2.22.2.1具有一个弹性对称面的材料2.2.2正交各向异性材料2.2.3横观各向同性材料2.2.4各向同性材料§2.2各向异性弹性体的

本构关系

§2.2

§2.2应变势能密度为：

有一个弹性对称面的材料如取xoy坐标面与弹性对称面平行，取A与A’为相互对称点，那么它们的弹性性能相同。即将z轴转到z’轴时，应力应变关系不变。

有一个弹性对称面的材料此时：z=-z’，w=-w’，

有一个弹性对称面的材料为保证W值不变,将含有?xz和?yz(?4与?5)一次项的Cij置为零，只剩下13个独立变量。

2.2.1有一个弹性对称面的材料同理：

正交各向异性材料如果具有三个正交弹性对称面，那么：

正交各向异性材料只有九个独立系数

横观各向同性材料各向同性面—在该平面内，各点的弹性性能在各方向上相同。假定：1，2，3都是弹性主轴，1－2面是各向同性面。那么：S11=S22，S13=S23，S44=S55，C11=C22，C13=C23，C44=C55

横观各向同性材料又设某点应力状态：?1=?，?2=－?，?4=?5＝?6，有将1、2坐标轴在面内转450到1’、2’，那么?1’=?2’＝?3’＝0，?6’＝?1’2’＝－?，?2’3’＝?3’1’＝0：那么：S66＝2(S11–S12)

横观各向同性材料

横观各向同性材料只有五个独立系数

各向同性材料如果材料任一点、任一方向弹性特性都相同。有：C11=C22=C33，C12=C13=C23，S11=S22=S33，S12=S13=S23，

各向同性材料

各向同性材料只有三个独立参数，可以用E、?、G表示。实际上只有两个，因为E、?、G之间有关系。

§2.3§2.3正交各向异性材料的工程弹性常数单独在j方向有正应力时i方向上应变与j方向应变之比的负值工程常数是指弹性模量Ei,泊松比?ij和剪切模量Gij，这些常数由实验测定。分别在各弹性主方向有作用力时的应力应变之比

对正交各向异性材料：

因为[S]是对称的，所以对于各向同性材料：E0，G0,-1?1/2对于各向异性材料，考虑到应变能W0，所以[C]和[S]必须正定。一般Ei?Ej，所以，?ij??ji。因此共有九个参数。

矩阵正定的定义：特征值都大于零的实对称矩阵。充分必要条件：所有主子式都大于零Ai0(i=1,2?6)主子式：在[S]〔或[C]〕中任意取第i1,i2,i3,?ik行和i1,i2,i3,?ik列交点处的元素构成的行列式称为矩阵[S]〔或[C]〕的主子式。

1°2°同理可得：

3°书上〔2-42〕式就是通过组合上述公式得到的。这些关系式可用于检验材料实验数据。

例题:P46