重难点突破11 导数中的同构问题（六大题型）（原卷版）.docx

重难点突破11导数中的同构问题

目录

方法技巧总结一、常见的同构函数图像

函数表达式

图像

函数表达式

图像

函数极值点

函数极值点

函数极值点

函数极值点

过定点

函数极值点

函数极值点

函数极值点

函数极值点

方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题

1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式

2、同构式的应用：

（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根

（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．同构小套路

①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；

③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．

（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程

（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解

3、常见的指数放缩：

4、常见的对数放缩：

5、常见三角函数的放缩：

6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：

（1）且时，有

（2）当且时，有

再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）

（3）

（4）

（5）

（6）

再结合常用的切线不等式lnxx-1，等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：

（7）；

（8）；

7、同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有：

=1\*GB3①；

=2\*GB3②；

=3\*GB3③

8、乘法同构、加法同构

（1）乘法同构，即乘同构，如；

（2）加法同构，即加同构，如，

（3）两种构法的区别：

=1\*GB3①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；

=2\*GB3②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；

题型一：不等式同构

例1．（2023·四川达州·高二校考阶段练习）已知，且，，，则（????）

A． B．

C． D．

例2．（2023·湖北黄石·高二校考期中）已知．且，，，则（????）

A． B．

C． D．

例3．（2023·陕西榆林·高二校考期末）已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是（????）

A． B． C． D．

变式1．（2023·河南·高二校联考期中）已知，，，则，，的大小顺序是（????）

A． B．

C． D．

变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（????）

A． B．

C． D．

变式3．（2023·江西赣州·高二江西省信丰中学校考阶段练习）已知函数的导数满足对恒成立，且实数，满足，则下列关系式恒成立的是（????）

A． B． C． D．

题型二：同构变形

例4．（2023·全国·高三专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)；

(7)；

(8)．

题型三：零点同构

例5．（2023·全国·高三专题练习）设，满足，则（????）

A． B． C． D．6

例6．（2023·全国·高二专题练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构?形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为（????）

A． B．e C． D．1

例7．（2023·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知函数和有相同的最大值.

(1)求；

(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.

变式4．（2023·安徽安庆·高三校联考阶段练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构?形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程.

（1）求的值；

（2）已知函数.若斜率为的直线与曲线相交于，两点，求证：.

变式5．（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为（其中，则称为区间上的“倍缩函数”.

(1)证明：函数为区间上的“倍缩函数”；

(2)若存在，使函数为上的“倍缩函数”，求实数的取值范围；

(3)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

变式6．（2023·全国·高三专题练