数列不等式的放缩问题（7大核心考点）（讲义）（解析版）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）.docx

专题10数列不等式的放缩问题

【目录】

考情分析

知识建构

方法技巧

真题研析

…………………………1

…………………………2

..3

…………………………4

核心考点

………………………10

考点一：先求和后放缩 10

考点二：裂项放缩 13

考点三：等比放缩 16

考点四：)型不等式的证明 18

考点五：型不等式的证明 2

考点六：型不等式的证明 25

考点七：型不等式的证明 29

数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题(压轴题),有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢.

考点要求

考题统计

考情分析

数列不等式

2023年Ⅱ卷第18题，12分

2022年I卷第17题，10分

2021年乙卷第19题，12分

2021年Ⅱ卷第17题，10分

2021年浙江卷第20题，15分

【命题预测】

预测2024年高考，多以解

答题形式出现，具体估计为：

(1)导数压轴题第二问，利用导数证明数列不等式，难度较大.

(2)数列解答题第二问，

难度中等偏上，属综合性问题.

数列不等式的放缩问题

先求和后放缩

裂项放缩

等比放缩

方法技巧

常见放缩公式：

(15)二项式定理

于

②2”2n+1(n≥3),

2=(1+1)”=C0+C,+…+C”-1+CC0+2C=2n+1;2≥n2+n+2(n≥5),

2=(1+1)=C?+C,+C2+…+C-2+C-1+C≥2C+2C1+2C2=n2+n+2

(16)糖水不等式

若ba0,m0,

真题研

则

若bam0,则

1.(2023·新高考Ⅱ)已知{a,}为等差数列，,记S,,T为{a,},{b,}的前n项和，

S?=32,T?=16.

(1)求{a,}的通项公式；

(2)证明：当n5时，TS.

【解析】(1)设等差数列{a,}的公差为d,

S,T为{a,}{b,}的前n项和，S?=32,T?=16,

则即解得

故a,=5+2(n-1)=2n+3;

(2)证明：由(1)可知，

当n为偶数时，n5,

T=-1+3+…+2(n-1)-3+14+22+…+4n+6

故原式得证.

2.(2022·新高考I)记S,为数列{a,}的前n项和，已知a?=1,

(1)求{a,}的通项公式；

(2)证明：

【解析】(1)已知a?=1,是公差为的等差数列，所以整理得①,

故当n≥2时，

①-②得：

故(n-1)a,=(n+1)a-1,

;化简得：

;

所以

(首项符合通项).故

(首项符合通项).

所以

证明：(2)由于所以

是公差为的等差数列.

所以

3.(2021·乙卷)设{a,}是首项为1的等比数列，数列{b,}满足已知a,3a?,9a?成等差数列.

(1)求{a,}和{b}的通项公式；

(2)记S,和T,分别为{a,}和{b,}的前n项和.证明：

【解析】(1)∵a,3a?,9a?成等差数列，∴6a?=a+9a?,

∵{a,}是首项为1的等比数列，设其公比为q,

则6q=1+9q2,

(2)证明：由(1)知,

(2)证明：由(1)知

,

::,②

:

:

①-②得，

4.(2021·天津)已知数列{a,}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列{b。}是公比大于0的等比数列，b?=4,b?-b?=48.

(1)求数列{a,}和{b,}的通项公式；

(2)记,ne*

(i)证明：{c2-Czn}是等比数列；(ii)证明：

【解析】证明：(1)由数列{a,}是公差d为2的等差数列，其前8项的和为64,可得解得a?=1,

所以a,=1+2(n-1)=2n-1,neN*;

由数列{b,}是公比q大于0的等比数列，b?=4,b?-b?=48,

可得4q2-4q=48,解得q=4(-3舍去),