华东师大版八年级数学上册同步备课：第13章全等三角形13.5逆命题与逆定理13.5.3角平分线.docVIP

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13．5.3角平分线

掌握角平分线的性质定理与逆定理．

重点

角平分线的性质定理与逆定理．

难点

角平分线的性质定理与逆定理的运用．

一、创设情境

角是轴对称图形吗？它的对轴称是什么？如图,点P是∠AOB的平分线OC上的任一点,且PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,将∠AOB沿OC对折,你发现了什么？如何表达,并简述你的证明过程．

二、探究新知

1．角平分线的性质定理

与等腰三角形的判定方法相类似,这个定理也可用逻辑推理的方法加以证明．图中有两个直角三角形：△PDO和△PEO.只要证明这两个三角形全等,便可证得PD＝PE.

在学生交流发言的基础上,教师板书：角平分线的性质定理,即角平分线上的点到角两边的距离相等,几何推理为：∵OP平分∠AOB,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,∴PD＝PE.教师指出条件不能漏掉PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.

2．角平分线的判定定理

教师讲解：角平分线性质定理的逆命题是“到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上”．这个命题是否是真命题呢？即到一个角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？我们可以通过“证明”来解答这个问题．

教师写出已知、求证．

已知：如图,QD⊥OA,QE⊥OB.点D,E为垂足,QD＝QE.

求证：点Q在∠AOB的平分线上．

教师分析解题思路：为了证明点Q在∠AOB的平分线上,可以作射线OQ,然后证明Rt△DOQ≌Rt△EOQ,从而得到∠AOQ＝∠BOQ.

教师让学生自己书写证明过程．学生证明后,教师板书证明过程供学生对照．

教师板书定理内容：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．

3．三角形三条角平分线交于一点

教师要求学生证明“三角形三条角平分线交于一点”这一定理,要求作图、已知、求证、证明均由学生自己书写．学生证明之后教师板书证明过程供学生对照．

已知：如图,AD,BE分别是△ABC中∠BAC与∠ABC的平分线,AD,BE相交于点O.

求证：∠ACB的平分线也过点O.

分析(不要求学生写)：要证明三条角平分线交于一点,只需证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了．

证明：连结CO,延长CO交AB于点F,过点O作OH⊥AC于点H,作OG⊥BC于点G,作OI⊥AB于点I.

∵AD是∠BAC的平分线,且点O在AD上,

∴OH＝OI(角平分线的性质定理)．

∵BE是∠ABC的平分线,且点O在BE上,

∴OG＝OI(角平分线的性质定理),

∴OH＝OG.

又∵OH⊥AC,OG⊥BC.

∴FC是∠ACB的平分线(角平分线的判定定理)．

∴△ABC的三条内角平分线相交于一点O.

四、小结与作业

小结

学生要会证明角平分线的性质定理与判定定理,并会应用这个定理．会证明三角形三条角平分线相交于一点,并会运用这个定理．

作业

教材第99页习题13.5第4题．

本节课的教学类比线段垂直平分线的教学,本课时的教学应突出学生的主体性原则,指引学生自己操作、观察、发现、归纳、论证,相互交流或课堂展示,让学生分享学习的收获,从而激发学生参与的热情,体验成功的快乐．