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《条件概率的概念》同步学案

问题情境导入

某人参加电视台的一个抽奖节目.台上有三个门,一个门后边有汽车,其余两个门后边是山羊.主持人让此人任意选择其一,然后主持人打开其余两个门中的一个,此人看到是山羊.这时,主持人给此人机会让他可以重选,也就是此人可以换选另一个剩下的门.那么,到底该不该换呢?

新课自主学习

自学导引

1.设A,B是两个事件,且P(A)0,则称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.P(B|A)读作______发生的条件下______发生的概率.

2.条件概率的性质

(1)______≤P(B|A)≤______.

(2)若B与C是两个互斥事件,则=______.

答案

1.AB

2.(1)01(2)P(B|A)+P(C|A)

预习测评

1.把一枚均匀的硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件A,“第二次出现反面”为事件B,则P(B|A)等于()

A.

B.

C.

D.

2.4张奖券中只有1张能中奖,现分别由4名同学无放回地依次抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券,则最后一名同学抽到中奖券的概率是()

A.

B.

C.

D.1

3.投掷一枚质地均匀的骰子两次,记A={两次的点数均为奇数},B={两次的点数之和为4},则P(B|A)等于()

A.

B.

C.

D.

4.设A,B为两个事件,且P(A)0,若,,则______.

答案

1.

答案:A

解析:由题意,,由条件概率公式得.

2.

答案:B

解析:因为第一名同学没有抽到中奖券,所以问题变为3张奖券,1张能中奖,最后一名同学抽到中奖券的概率显然是.

3.

答案:C

解析:由题意知事件A包含的样本点是(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),共9个,在A发生的条件下,事件B包含的样本点是(1,3),(3,1),共2个,所以P(B|A)=.

4.

答案:

解析:.

新知合作探究

探究点1条件概率

知识详解

1.条件概率的定义

设A,B是两个事件,且P(A)0,则称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率.

2.计算条件概率的方法

(1)在样本空间中,先求概率P(AB)和P(A),再按定义计算P(B|A);

(2)随机事件A的样本点构成了一个小样本空间A,在样本空间A中求事件B的概率,就得到P(B|A).

特别提示

1.P(B|A)与P(A|B)意义不同,由条件概率的定义可知,P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率,而P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.

2.P(B|A)与P(B):在事件A发生的前提下,事件B发生的概率不一定是P(B),即P(B|A)与P(B)不一定相等.

易错警示:P(AB)与P(B|A)的意义和读法要搞清楚.P(AB)是事件A,B同时发生的概率,P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率,且P(AB)≤P(B|A).

典例探究

例1一个袋中有2个黑球和3个白球,这些球除颜色外完全相同.如果不放回地抽取两个球,记事件“第一次抽到黑球”为A;事件“第二次抽到黑球”为B.

(1)分别求事件A,B,AB发生的概率;

(2)求P(B|A).

解析首先弄清“这次试验”指的是什么,然后利用相应公式求解.

答案(1),

,

.

(2)方法一:.

方法二:.

变式训练1现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求:

(1)第一次抽到舞蹈节目的概率;

(2)第一次和第二次都抽到舞蹈节目的概率;

(3)在第一次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.

答案设第一次抽到舞蹈节目为事件A,第二次抽到舞蹈节目为事件B,则第一次和第二次都抽到舞蹈节目为事件AB.

(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的样本点数为,

根据分步乘法计数原理,得,于是.

(2)因为.,于是.

(3)方法一:由(1)(2)可得,在第一次抽到舞蹈节目的条件下,第二次抽到舞蹈节目的概率为

.

方法二:因为n(AB)=12,n(A)=20,

所以.

点拨第(1)(2)问属于古典概型问题,可直接代入公式;第(3)问为条件概率问题,可以借用前两问的结论,也可以直接利用样本点个数求解.

探究点2条件概率的性质

知识详解

条件概率的性质

(1)0≤P(B|A)≤1.

(2)若B和C是两个互斥事件,则.

(3).

特别提示

1.对条件概率性质的两点说明

(1)前提条件:P(A)0.

(2)若,则必须有事件B与C互斥,并且都是在事件A发生的条件下.

2.为了求复杂事件的概率