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《组合数及其性质》教学设计

教学设计

一、情境引入

现场调查：对于体育运动项目，请问同学们是喜欢对抗型项目的同学多一些呢？还是喜欢耐力型项目的同学多一些呢？

一个调查问题：对一次学校运动会中的两个特定项目：趣味投羽毛球、3000米长跑，某班级32位同学必须参加其中一个项目且仅参加一个项目（每一位同学可以在两个项目中任选一个，要求17人参加3000米跑，其余人参加趣味投羽毛球），假设你是班级体育委员，你能算出所有可能的报名情况吗？

请发表观点：仅统计报名趣味投羽毛球的所有可能情况；仅统计报名3000米长跑的所有可能情况.

提炼观点：体育委员在统计报名的所有可能情况时，用到了什么数学知识？哪位同学能为大家来解读下？

设计意图：通过贴近学生实际的问题激发学生的学习兴趣，引导学生探究组合问题的求法，为引入组合数的概念以及研究组合数的性质奠定基础.

二、新知探究

1.组合数

问题1：大家前面学习过排列问题，我们知道求排列问题的个数称为排列数，用表示，类似地，对于一般的组合问题，如何计算所有组合的个数呢？

我们给出组合数的概念：

从n个不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N+）个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N+）个元素的组合数，记作.

前面我们已经研究过排列数的计算，下面我们通过分解排列数的计算步骤来得到计算组合数的方法.

问题2：大家回忆一下上节课我们学习的问题2的计算过程，用组合数怎样解决？

在上节课的问题2中，从a，b，c，d这4个不同元素中取出2个元素的排列问题可以分解成以下2个步骤：

第1步，从a，b，c，d这4个不同元素中取出2个元素，共有种取法；

第2步，将取出的2个元素进行排列，共有种排法.

因此，根据分步乘法计数原理，，

从而.

【师生活动】以上内容教师指定一名学生完成，教师引导.

设计意图：回顾排列数，由特殊到一般，为组合数的推导奠定基础.

问题3：类似排列数公式，你能推导出组合数公式吗？

结合上面的分析推导，推导过程如下：

一般地，考虑A与C的关系：把“从n个不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N+）个元素进行排列”这件事，可以分解为以下2个步骤：

第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有种取法；

第2步，将取出的m个元素进行排列，共有种排法.

因此，根据分步乘法计数原理，我们得到“从n个不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N+）个元素进行排列”共有种排法，即.

由此，我们得到从n个不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N+）个元素的组合数为.

上面的公式称为组合数公式.

规定：.

思考组合数公式的使用范围是什么？

提示：乘积式适用于含具体数字的组合数的求值；阶乘式适用于含字母的组合数的有关变形及证明.

【师生活动】教师引导学生完成以上推导过程.

设计意图：从先组后排的角度认识排列数的由来，并由此推导出组合数公式，培养学生的逻辑推理核心素养.

2.组合数的性质

问题4：分别计算“从10人中选出6人参加比赛”与“从10人中选出4人不参加比赛”的方法数.

分析：“从10人中选出6人参加比赛”相当于“从10人中选出4人不参加比赛”，因此，从10人中选出6人参加比赛的方法数与从10人中选出4人不参加比赛的方法数是相同的，即.

思考：从问题4中你能得到关于组合数的什么结论？

结论：一般地，组合数有如下性质：

性质1：.

【师生活动】教师指定一名学生完成问题4，然后引导学生小组讨论得出性质1.

设计意图：通过分析具体问题，由特殊到一般，得出组合数的性质1.

问题5：从10名普通战士和1名班长中选出5名参加军事比武大赛，共有多少种方案？

分析：一方面，从11名中选出5名参加军事比武大赛，共有种方案.

另一方面，选出的5名可以分成以下2类：

第1类，含有班长，共有种方案；

第2类，不含班长，共有种方案.

因此，根据分类加法计数原理，共有种方案.

由此，我们得到：.

思考：从问题5中你能得到关于组合数的什么结论？

结论：一般地，组合数还有下面的性质：

性质2：.

我们通过构造下面的情境来说明性质2.

性质2的左边表示：从（n+1）个不同的小球中取出m个小球的组合数.

现将这（n+1）个小球看成n个红球和1个黑球，从中取出m个球.所有取法可以分成以下2类：

第1类，不取黑球，从n个红球中，取出m个球，方法数为；

第2类，取出1个黑球和（m-1）个红球，因此，取出的方法数相当于从n个红球中，取出（m-1）个球，方法数为.

因此，根据分类加法计数原理，共有种取法.

由此，我们得到：.

【师生活动】问题5可以教师引导学生一起完成，不过对于性质2和性质2的情境说明，学生可能悟不出来，需要以教师讲解为主.

设计意图：通过实例分析得出组合数的性质2