《组合》同步学案 (1).docxVIP

高中数学精编资源

PAGE2/NUMPAGES2

《组合》同步学案

问题情境导入

问题1:从1,2,3,4,5,6中任取2个数字,共有多少种不同的取法？

问题2:从1,2,3,4,5,6中任取2个数字组成一个两位数,共有多少个不同的两位数？这两个问题有什么区别和联系？

前面我们研究了排列,现在需要我们研究组合.

新课自主学习

自学导引

1.一般地,从n个不同元素中,任取m（m≤n,且m,n∈N+）个元素为一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个______.我们把有关求组合的个数的问题叫作______.

2.排列和组合都是关于从n个不同元素中取出m（m≤n,且m,n∈N+）个元素的计数问题,它们的差别是:排列需考虑______,组合不需考虑______.也就是说:只有______的两个排列才是相同的;只要两个组合的______相同,不论______如何,都是相同的组合.

答案

1.组合组合问题

2.元素顺序元素顺序元素相同且顺序也相同元素元素的顺序

预习测评

1.判断对错（正确的打“√”,错误的打“×”）.

（1）从甲、乙、丙3名同学中选出2名,有3种不同的选法.（）

（2）从4张卡片中任选2张,共有12种不同的选法.（）

2.下列四个问题属于组合问题的是（）

A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译泽的工作

B.从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字,组成一个三位数

C.从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式

D.从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员

3.5个朋友聚会,每两人握手1次,一共握手______次.

4.从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘,可以得到不相等的积的个数为______.

答案

1.

答案:（1）√（2）×

2.

答案:C

解析:A、B、D均为排列问题,只有C是组合问题.

3.

答案:10

解析:每两人握手1次,无顺序之分,是组合问题,由列举法可得一共握手10次.

4.

答案:6

解析:由列举法可得得到不相等的积的个数为6.

新知合作探究

探究点1组合的定义

知识详解

1.一般地,从n个不同元素中,任取m（m≤n,且m,n∈N+）个元素为一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题.

2.排列和组合都是关于从n个不同元素中取出m（m≤n,且m,n∈N+）个元素的计数问题,它们的差别是:排列需考虑元素顺序,组合不需考虑元素顺序.也就是说:只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的;只要两个组合的元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的组合.

特别提示

1.组合的定义包含两个基本内容:一是“取出元素”;二是“合成一组”.“合成一组”表示与元素的顺序无关.

2.一般根据排列与组合的定义区分排列与组合,先确定完成的是什么事件,然后看问题是否与顺序有关,与顺序有关的是排列,与顺序无关的是组合.

3.区分有无顺序的方法

把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否会产生新的变化,若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新变化,即说明无顺序,是组合问题.

典例探究

例1判断下列各事件是排列问题还是组合问题.

（1）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一场）,这次比赛共需要进行多少场？

（2）10支球队以单循环进行比赛,这次比赛冠、亚军获得者共有多少种可能？

（3）从10个人里选3个代表去开会,共有多少种选法？

（4）从10个人里选出3个不同学科的课代表,共有多少种选法？

解析要确定是组合问题还是排列问题,只需确定取出的元素是否与顺序有关.

答案（1）是组合问题,因为每两队比赛一场并不需要考虑谁先谁后,没有顺序的区别.

（2）是排列问题,因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的,有顺序的区别.

（3）是组合问题,因为3个代表之间没有顺序的区别.

（4）是排列问题,因为3个人担任哪一科的课代表有顺序的区别.

变式训练1给出下面几个问题,其中是组合问题的是______（填序号）.

（1）由1,2,3,4构成的2个元素的集合;

（2）由1,2,3组成两位数的不同方法数;

（3）由1,2,3组成无重复数字的两位数.

答案（1）

探究点2组合问题的求解

知识详解

组合问题的求解有两种方法,一是列举法,适用于较简单的组合问题;二是利用分步乘法计数原理,转化为排列问题求解.

典例探究

例2甲、乙、丙三地之间有直达的火车,相互之间的距离均不相等,则不同的票价共有______种.

解析方法一:（列举法）甲、乙、丙三地之间的距离不等,故票价不同,同距离两地票价相同,故该问题为组合问题,不同的票价共有3种.

方法二:从排列