数学自我小测：平面向量应用举例（第课时）.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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自我小测

1．在Rt△ABC中,∠C＝90°，AC＝4，则·等于（）

A．－16 B．－8 C．8 D．16

2．在△ABC中，若（＋)·（－)＝0，则△ABC为(）

A．正三角形B．直角三角形 C．等腰三角形D．形状无法确定

3．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝()

A．1 B. C。 D．2

4．设O,A，B，M为平面上四点，＝eq\f（1,3)＋eq\f(2，3），则（）

A．点B在线段AM上 B．点M为线段BA的靠近B的三等分点

C．点M为线段BA的中点 D．O,A，B，M四点共线

5．以原点O及点A（5,2）为顶点作等腰直角三角形OAB,使∠A＝90°，则点B的坐标为()

A．（2,－5）B．（7，－3） C．（－2,5)或(2，－5)D．(7，－3）或(3，7)

6．在四边形ABCD中，已知＝（4,－2），＝(7,4），＝(3,6），则四边形ABCD的面积是__________．

7．在△ABC中，C＝,AC＝1，BC＝2,则f(λ）＝|2λ＋（1－λ）|的最小值是__________．

8．已知△ABC中,A＝60°，AB＝1,AC＝3，则cos∠ACB＝__________。

9．在Rt△ABC中,AB⊥AC，用向量法证明：AB2＋AC2＝BC2.

10．如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°,作AE⊥BD交BC于点E，求BE∶EC。

参考答案

1.解析：因为cosA＝，所以·＝|｜｜｜cosA＝AC2＝16.

答案：D

2.解析：∵(＋）·(－）＝0，

∴2－2＝0，2＝2.

∴CA＝CB,△ABC为等腰三角形．

答案：C

3.解析：建立如图的平面直角坐标系，则A（0，0），B(2,0)．

设AD＝a，则C(1,a)，＝（1，a）,＝（－1，a)．

∵AC⊥BC,∴⊥。

∴·＝－1＋a2＝0，∴a＝1（负值舍去）．

答案：A

4.解析：∵＝＋，

∴＝＋－。

∴－＝－，∴eq\o(BM，\s\up6（→）)＝eq\o(BA,\s\up6（→））.

∴点M,A，B三点共线，且M为线段BA靠近B的三等分点．

答案：B

5.解析：设＝（x,y）,

则||＝|｜＝＝，①

又⊥，得5x＋2y＝0,②

解①②得或

∴＝(2，－5)或＝（－2，5）．

设B（x0，y0)，则＝（x0－5,y0－2），

∴或

得或

即点B的坐标为（7，－3）或(3，7)．

答案：D

6.解析:＝－＝(3，6)＝。

又∵·＝(4，－2）·(3，6）＝0,

∴四边形ABCD为矩形．

∴|｜＝＝2，||＝＝3.

∴S＝||｜|＝2×3＝30。

答案：30

7.解析：以C为原点，CA，CB所在直线分别为y轴，x轴建立平面直角坐标系，

所以＝(0,1)，＝(2,0）,即2λ＋(1－λ）＝(0,2λ)＋（2－2λ，0)＝（2－2λ,2λ），

所以f（λ)＝2,故f(λ）的最小值为，在λ＝时取得．

答案：

6。解析：设a＝，b＝，

则cos∠ACB＝＝

＝＝＝。

答案：

9。证明:如图，由已知可得－＝.

两边平方，

得2＋2－2·＝2。

∵AB⊥AC,

∴⊥。

∴·＝0,

∴2＋2＝2，

即AB2＋AC2＝BC2。

10。解法一:设＝a，＝b，|a|＝1，|b｜＝2，

则a·b＝|a｜｜b|cos60°＝1，＝a＋b.

设＝λ＝λb，则＝－＝λb－a.

由AE⊥BD，得·＝0，即（λb－a)·（a＋b）＝0,

解得λ＝，所以BE∶EC＝∶＝2∶3。

解法二：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

设B(0，0)，C（2，0）,则A，D。

设E（m,0）,则＝,＝，

由AE⊥BD，得·＝0，

即－×＝0，

解得m＝，所以BE∶EC＝∶＝2∶3。