《直线的方向向量与平面的法向量》教学设计 (3).docxVIP

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《直线的方向向量与平面的法向量》教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习引入

1.回顾：空间直角坐标系,空间向量运算的坐标表示.

2.通过前面的学习,你能总结一下用空间向量解决立体几何问题的基本步骤吗？

3.在空间中取一个定点O,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示,向量就是点P的位置向量.

教师以提问的方式引导学生复习旧知.

学生根据教师的提纲回顾前面所学知识,并回答教师的问题.

对于问题2,总结：首先将立体几何问题转化为向量问题,然后运用向量方法求解,最后再回到立体几何问题.

复习旧知,为引入新知作铺垫.

知识生成

一、直线的方向向量与直线的向量表示思考：类比用向量表示空间点的位置的方法,如何用向量方法描述空间的一条直线呢？

1.设点A,B是直线l上不重合的任意两点,称为直线l的方向向量.

2.已知点M是直线l上的一点,非零向量a是直线l的一个方向向量,那么对于直线l上的任意一点P,一定存在实数t,使得.反之,由几何知识不难确定,满足上式的点P一定在直线l上.因此,我们把这个式子称为直线l的向量表示.

二、平面的法向量

问题：给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线,类似地,空间中给定一点和一条直线后,也可以唯一确定过此点与这条直线垂直的一个平面.那么你能用向量来描述平面内任一点的位置吗？进而你能用向量来表示这个平面吗？

1.如果一条直线l与一个平面垂直,那么就把直线l的方向向量n叫作平面的法向量,则n⊥.

2.设点M是平面内给定的一点,向量n是平面的一个法向量,那么对于平面内任意一点P,必有.反之,满足该式的点P都在平面内,所以把该式称为平面的一个向量表示式.

在空间直角坐标系中,若n=(A,B,C),点M的坐标为(),则对于平面内任意一点P(x,y,z),有=0.反之,以满足该方程的(x,y,z)为坐标的任意一点也都在平面内,所以该方程叫作平面的方程.

教师提出问题：如何确定一条直线？

学生思考、回答：

方法一：两点确定一条直线；方法二：一点及直线的方向.教师给出方向向量的概念,引导思考：如何用向量表示空间中任意一条直线的位置？

学生思考、回答,得出直线的向量表示

教师提出问题：你能类比确定直线的方法,得出如何确定一个平面吗？

学生思考,结合线面垂直关系尝试得出结论,教师给出平面法向量的概念,学生理解、掌握概念.

教师再提出问题：如何用平面的法向量来描述平面内任意一点的位置呢？

学生分组讨论、教师巡视,适时进行点拨.

待学生代表展示讨论成果后,师生共同梳理平面的向量表示式及平面的方程概念等内容.

通过问题设置,引导学生学习本节内容,使他们理解概念,突破重点,培养学生分析问题、解决问题的能力,提升学生的逻辑推理和数学抽象核心素养.

例题研讨

例1在空间直角坐标系中,已知点A(4,2,0),B(1,3,3),点E是线段AB上的一点,且AE=,求点E的坐标.

解设点E的坐标为.由题意可知,且,所以

即解得

所以点E的坐标为.

例2在空间直角坐标系中,已知点A(1,1,0),B(2,3,3),C(0,1,2),点D为直线AB上的一AD点,且CD⊥AB,求.

解依题意知,

因为点D是直线AB上的一点,所以存在实数入,使得,则=

.

由CD⊥AB,得,即

解得=.

所以A

例3求证：点P在直线AB上的充要条件是对空间任意一个确定的点O,存在实数t使得

证明如图,根据直线的向量表示可知点P在直线AB上等价于存在实数t,使得.

又因为,所以

整理,得

例4已知点A(0,1,1),B(1,2,1),C(2,1,3),求平面ABC的一个法向量的坐标.

解由已知可得,.

设n=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量,则

即

不妨取x=1,得y=z=-1.

所以平面ABC的一个法向量的坐标为(1,-1,-1).

例5在长方体ABCD-ABCD中,已知AB=1,AD=2,

AA=3.

(1)在四边形BCCB内是否存在一点N,使得AN⊥平面ABD？

(2)求证：AC与平面ABD的交点恰为线段AC的三等分点.

(1)解以点A为原点,AB,AD,AA所在直线分别为x轴、y轴、之轴,如图建立空间直角坐标系,则

B(1,0,0),D(0,2,0),A(0,0,3),故,.

设N(1,y,z)是四边形BCCB内一点,则0≤y≤2,0≤x≤3,.

令得

解得

故在四边形内存在一点,使得AN⊥平面ABD.

(2)证明：由(1)可知是平面ABD的一个法向量；又B(1,0,0),所以平面ABD的方程为.

化简,得(6,3,2)·(x-1,y,z)=0,

即6x+3