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北师大版同步教材精品课件《圆的一般方程》

课题引入教学内容问题:求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,而用直线的知识解决又有其局限性,那么这个问题有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式一圆的一般方程.师生互动让学生带着问题进行思考,分小组分别使用圆的标准方程和直线的知识这两种方法解决.教师总结这两种方法的特点,提示学生思考是否还有其他的解法.设计意图提出问题,让学生在解决问题的过程中体会操作的烦琐,产生寻找新的解题方法的需求,既复习了旧知识,又引出了新知识.

的？问题2:对于圆的标准方程问题探究教学内容问题1:把圆的标准方程中的括号展开、整理之后,得到的方程形式是什么样,整理得到的一般形式是什么样的？的方程,它表示的曲线定是圆吗？分别问题3:反过来,给出一个形如判断与是否是圆的方程,然后总结是圆的方程的充分条件.问题4:类比上面,把配方得完成),这个方程是不是表示圆？问题5:根据上述内容,你能总结出圆的一般方程的系数有什么特点吗？(配方过程由学生去

师生互动问题探究学生自主将化为,此方程为二元二次方程,取D=－2a,E=－2b,,即为.学生分组完成.学生化简后得所以上述方程表示圆心在(1,1),半径为的圆.显然,满足上述方程的实数只有x=1,y=1,因此这个方程不是圆的方程.学生小组讨论,教师总结结论

学生根据上述推导分析过程进行总结:圆的一般方程的特点:(1)①问题探究结论:(1)当时,方程表示以为圆心,为半径的圆;时,方程只有实数解,即只表示一个点;(2)当(3)当综上所述,方程表示的图形不一定是圆.时,它表示的图形(其中)为圆的一般方程.时,方程没有实数解,因而方程不表示任何图形.只有当才是圆.称和(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D,E,F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.的系数相同,且不等于0;②不含xy这样的二次项.

(3)与圆的标准方程相比较,圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径,几何特征较明显.问题探究最后,教师结合上述内容,给出本课的内容小结:称(其中)为圆的一般方程.而言,圆的一般方程突出了二元二次方程表示圆时,其在代数结构上的典型特征:对于二元二次方程(1),的系数相同,且不等于0,即A=B≠0;(2)不含xy这样的二次项,即C=0.具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的必要条件,但不是充分条件.

设计意图问题探究从特殊到一般,对圆的标准方程的形式进行化简,得出圆的一般方程的样式,使学生对圆的一般方程有一个初步的认识.通过问题3的解决,学生既复习了充要条件的相关知识,也对什么形式的二元二次方程能表示圆有了更深刻的认识,提升了逻辑推理核心素养.在问题3的基础上,对二元二次方程进行配方,得出在各种条件下方程所表示的图形,是体现分类讨论思想的良好素材.通过前面问题1~4的学习,在此进行一次小结,对本课所学内容进行巩固.

教学内容例1判断下列方程是否为圆的方程,如果是,写出圆心坐标和半径,如果不是,请说明理由:(1);;.,所以是圆心坐标为(－2,3),半径为5的(2)(3)解(1)原方程可化为圆的方程.(2)方程两边除以4,得,左边配方得,所以是圆心坐标为,半径为的圆的方程.,因为满足上述方程的实数x,y不存在,所以原方程不(3)原方程可化为是圆的方程.应用举例

例2已知A(0,5),B(1,－2),C(－3,－4)是圆P上的三点,求这个圆的方程.分析:根据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条件恰给出三点坐标,利用待定系数法即可求出方程.解设所求圆的方程为,因为A(0,5),B(1,－2),C(－3,－4)都是圆上的点,所以它们的坐标都是方程的解,因此可得解得因此所求圆的方程为.例3教材第32页例5.应用举例

师生互动学生分组完成,派代表上台展示答案,全班订正.要注意对于(2)来说,这里的,而不是D=－8,E=4,F=－15.讲完例2后,学生讨论交流,归纳得出使用待定系数法求圆的方程的一般步骤:(1)根据题设,选择设出标准方程或一般方程;(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;(3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.学生自己完成,集体订正.应用举例

设计意图通过例1,巩固了圆的一般方程的形式和判断二元二次方程是否是圆的方程的方法,提升了数学运算核心素养.通过例2的讲解使学生理解圆的一般方程的代数特征及与标准方程的相互转化,更