《一次函数的图象与直线的方程、直线的倾斜角、斜率及其关系》教学设计 (3).docxVIP

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《一次函数的图象与直线的方程、直线的倾斜角、斜率及其关系》教学设计

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

问题探究1

问题1:一次函数的图象是什么？

问题2:给定一个一次函数y=3x+1,点(1,4)是否在该函数的图象上？是否是方程y=3x+1的解？

学生回答,教师给予点评.

初步理解直线与方程的关系.

概念形成1

一般地,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,它是以满足y=kx+b的每一对x,y的值为坐标的点构成的.同时函数解析式y=kx+b可以看作二元一次方程.在解析几何中研究直线时,就是利用直线与方程的这种对应关系,建立直线的方程,并通过方程来研究直线的有关问题.

教师给出直线与方程的对应关系,学生结合教材图1-1进行理解.

在初中学习了一次函数图象与二元一次方程的基础上,借助图象来研究直线与方程的关系.

问题探究2

问题3:假如知道直线上的一个点P,过一点有无数条直线,如何确定这条直线？你有几种方法？

学生小组讨论后回答,发现可以再找一个点,根据两点确定一条直线的知识可以确定这条直线.教师可适当提示:结合必修课程中的平面向量知识,得到一个点与一个方向也可以确定一条直线.

利用平面向量的知识找到确定一条直线的方法,引出直线的倾斜角的概念.

概念形成2

直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角,称为直线l的倾斜角.通常倾斜角用α表示.当直线l和x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.因此,直线的倾斜角α的取值范围为[0,π).

教师给出直线的倾斜角的概念,学生识记.之后教师让学生试着画出倾斜角α为0,,,时的任一直线.

根据画出的图象教师总结:倾斜角越接近,倾斜程度越大.

通过让学生自己画出倾斜角在不同情况时的直线,使学生更好地掌握倾斜角的概念和变化趋势,提升直观想象核心素养.

问题探究3

问题4:两点可以确定一条直线,如图,给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求出直线的斜率？

学生自主推导经过不同两点的直线的斜率公式

教师结合图形提问:

(1)记,,则横坐标和纵坐标的改变量分别是多少？

(2)哪个比值可以反映直线l的倾斜程度？

认识直线的斜率是刻画直线倾斜程度的量教师提出两个问题,为推导出斜率的计算公式作准备.

概念形成3

称(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线l的斜率.

注意:

(1)斜率的大小与两点P1(x1,y1)P2(x2,y2)在直线上的位置无关.

(2)若直线l垂直于x轴,则它的斜率不存在.

(3)若直线l不垂直于x轴,则它的斜率存在且唯一.

(4)斜率表示直线的倾斜程度.

教师让学生自行推导出斜率的计算公式,并对几种特殊情况进行说明,完善概念.

让学生自己总结出斜率的计算公式,提升学生的数学抽象核心素养.

问题探究4

问题5:对于倾斜角不为的两条直线,其倾斜角相等,斜率就相等吗？

反之,其斜率相等,倾斜角就相等吗？

问题6:直线的方向向量与直线的斜率有怎样的关系？

学生分组讨论,展示讨论成果.

通过探寻直线的倾斜角和斜率的关系,培养数学思想方法的应用意识.

概念形成4

1.倾斜角不是的直线,它的斜率k和它的倾斜角α满足k=tanα(其中α≠).

教师让学生总结倾斜角的不同范围与斜率k的大小的关系,全班讨论后得出结论:

当时,斜率k≥0,且k随倾斜角α的增大而增大；当时,斜率k0,且k随倾斜角α的增大而增大；当α=时,直线l与x轴垂直,此时直线l的斜率不存在.

让学生自己分析得出倾斜角的不同范围与斜率大小的关系,使学生更深入地认识斜率的概念,同时也提升了逻辑推理核心素养.

概念形成4

2.在直线l上任取两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2),向量是直线l的方向向量,它的坐标为,直线的倾斜角α、斜率、方向向量分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度.它们之间的关系是(其中x1≠x2).

若k是直线l的斜率,则v=(1,k)是它的一个方向向量;若直线l的一个方向向量的坐标为(x,y),其中x≠0,则它的斜率k=.

教师让学生结合必修课程中的平面向量的知识,试着用向量的方法得出斜率的计算公式.

利用平面向量的有关知识再一次对斜率的计算公式进行推导,给学生提供了新思路、新方法,同时也渗透了使用向量的方法解决解析几何问题的理念.

应用举例

教材第4~7页例1~例6.

学生独立完成,全班订正,教师集中讲解.

通过例1和例2让学生掌握斜率的计算公式.通过例3和例4让学生熟悉倾斜角和斜率之间的转化,并注意如何处理斜率不存在的情况.例5是根据斜率来求直线的方向向量,内容和解