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《一元线性回归》同步学案

问题情境导入

人的脚的长短与身材的高矮之间具有某种关联.但是,两个脚一样长的人,他们的身高并不一定相同.也就是说,人的脚的长短与身高之间并不是确定的关系,人的脚的长短与身材的高矮之间是一种怎样的关系?

新课自主学习

自学导引

1.每个点对应的一对数据,称为成对数据.这些点构成的图称为______.

从散点图上可以看出,如果变量之间存在着某种关系,这些点会有一个大致趋势,这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似地描述.这样近似描述的过程称为______.

若在两个变量X和Y的散点图中,所有点看上去都在一条直线附近波动,此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系,称之为______.

2.对于给定的两个变量X和Y,可以把其成对的观测值表示为平面直角坐标系中的n个点.现在希望找到一条直线Y=a+bX,使得对每一个,由这个直线方程计算出来的值与实际观测值的差异尽可能小.为此,希望达到最小.换句话说,我们希望a,b的取值能使上式达到最小.这个方法称为______.

3.对于两个具有线性相关关系的变量的一组数据,使达到最小的a,b取值为

.

其中,.

这时直线方程______称为Y关于X的线性回归方程,相应的直线称作Y关于X的回归直线,______是这个线性回归方程的系数.

答案

1.散点图曲线拟合直线拟合

2.最小二乘法

3.

预习测评

1.设有一个线性回归方程Y=2-2.5X,变量X增加1个单位长度时,变量Y()

A.平均增加2.5个单位长度

B.平均增加2个单位长度

C.平均减少2.5个单位长度

D.平均减少2个单位长度

2.对于给定的两个变量的统计数据,下列说法正确的是()

A.都可以分析出两个变量的关系

B.都可以用一条直线近似地表示两者的关系

C.都可以作出散点图

D.都可以用确定的表达式表示两者的关系

3.已知X,Y的取值如表所示:

X

0

1

3

4

Y

2.2

4.3

4.8

6.7

若从散点图分析,Y与X线性相关,且,则的值等于()

A.2.6

B.6.3

C.2

D.4.5

4.某产品的广告费用X与销售额Y的统计数据如下表:

广告费用X/万元

1

2

4

5

销售额Y/万元

10

26

35

49

根据上表可得线性回归方程的约等于9,据此模型预报广告费用为6万元时,销售额约为()

A.54万元

B.55万元

C.56万元

D.57万元

答案

1.

答案:C

解析:由线性回归方程的意义判断,将X变为X+1,显然Y减少了2.5个单位长度.

2.

答案:C

解析:给出一组样本数据,总可以作出相应的散点图,故C正确;

但不一定能分析出两个变量的关系,故A不正确;

更不一定符合线性相关,因此不一定能用一条直线近似地表示,故B不正确;

两个变量的统计数据不一定有函数关系,故D不正确.

3.

答案:A

解析:,,而线性回归方程过(2,4.5),所以.

4.

答案:D

解析:因为.

又回归直线过(,),所以30=9×3+,所以=3,所以Y=3+9X.当X=6时,Y=57.

新知合作探究

探究点1线性回归方程

知识详解

1.对于给定的两个变量X和Y,可以把其成对的观测值表示为平面直角坐标系中的n个点.现在希望找到一条直线Y=a+bX,使得对每一个,由这个直线方程计算出来的值与实际观测值的差异尽可能小.为此,希望达到最小.换句话说,我们希望a,b的取值能使上式达到最小.这个方法称为最小二乘法.

2.使达到最小的a,b取值为

.

其中,.

这时直线方程称为Y关于X的线性回归方程,相应的直线称作Y关于X的回归直线,是这个线性回归方程的系数.

3.通过线性回归方程可以预测有关的量,只是估算,而不是真实值.

典例探究

例1某种产品的广告费用支出X与销售额Y(单位:百万元)之间有如下表的对应数据:

广告费用支出X/百万元

2

4

5

6

8

销售额Y/百万元

30

40

60

50

70

(1)画出散点图;

(2)求Y关于X的线性回归方程;

(3)试预测广告费用支出为10百万元时的销售额.

解析画出散点图,确定两变量的线性关系,根据所给数据代入的表达式求得的值,得到线性回归方程,进而预测出广告费用支出为10百万元时的销售额.

答案(1)散点图如图所示:

(2)列出下表,并用科学计算器进行有关计算:

i

1

2

3

4

5

合计

2

4

5

6

8

25

30

40

60

50

70

250

60

160

300

300

560

1380

4

16

25

36

64

145

所以,.

于是可得,

.

所以Y关于X的线性回归方程为Y=17.5+6.5X.

(3)由最小二乘法得出的线性回归方程可知,当广告费用支出为