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《离散型随机变量的均值》教学设计二

教学设计

教师活动

学生活动

设计意图

【情境引入】

提出问题:甲、乙两人进行比赛,他们两人获胜的概率相等,比赛规则是先胜三局者为赢家,赢家可以获得100法郎的奖励.比赛三局过后,甲胜了两局,乙胜了一局,这时由于某些原因中止了比赛,那么如何分配这100法郎才比较公平,让双方都能欣然接受?也就是甲和乙的期望所得分别是多少呢?

思考:如果你是裁判,你将如何分配这100法郎?理由是什么?

教师总结学生的答案,指出:分配是否合理?请在今天的学习中慢慢体会.

结合问题情境和生活实际,思考作答.

设置趣味情境,激发学生的学习兴趣,同时提出“期望”,设置悬念,引出新课内容.

【新知探究】

引例:

某射击手射击10次,所得环数分别是:6,6,6,6,7,7,7,8,8,9,平均环数是多少?

对算式进行改写,适当简化计算得

即环数与相应频率乘积之和是7.

概率是频率的稳定值,将频率看作概率,可以得到以环数X为随机变量(离散型随机变量)的分布列,如下表:

X

6

7

8

9

P

刚才的算式即为环数与相应概率的乘积之和,求的是一种加权平均.

思考:以你对这名射击手的了解,他再进行一次射击,你觉得他射出多少环是正常的?或者你预期、期望他能射出多少环?为什么?

7环是大家对他的期望,也是我们数学意义上的期望.

概念引出:

设离散型随机变量X的分布列如下表:

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

则称为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).

思考:结合刚才的引例,想一想,离散型随机变量X的均值刻画或反映的是什么?

均值的意义:刻画的是X取值的“中心位置”,反映了离散型随机变量X取值的平均水平.

无论是分奖金问题中的期望所得,还是大家对射击手射击环数的期望,抑或是一些专有名词,如“全国人口期望寿命”,“数学期望”与我们日常所说的“期望”意义是相符的,可见“数学期望”这个词是多么形象.

【例题讲解】

例1本着健康、低碳的生活理念,越来越多的人使用共享单车.某租车点的收费标准是每车每次租车不超过2小时免费,超过2小时的收费标准为每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人分别来该租车点租车骑游,各租车一次.设甲、乙不超过2小时还车的概率分别为小时以上且不超过3小时还车的概率分别为两人租车时间都不会超过4小时.请估计两人所付车费之和平均是多少?

对学生回答加以总结,板演解题过程,明确此类问题如何解答.

解设甲、乙两人所付车费之和为X.

X的可能取值为0,2,4,6,8.

故X的分布列如下表:

X

0

2

4

6

8

P

所以

例2某校为了解交通拥堵对学生们上学迟到的影响,每天记录由于交通问题迟到的学生人数.下表是在100天中每天由于交通原因迟到的人数情况.那么该校每天由于交通原因迟到的人数平均是多少?

迟到人数

0

1

2

3

天数

30

30

20

20

找学生回答.

解以迟到人数X为随机变量的分布列如下表:

X

0

1

2

3

P

0.3

0.3

0.2

0.2

例3根据历次比赛记录,甲、乙两射手在同样条件下进行射击比赛成绩分布如下表,试比较甲、乙两射手射击水平的高低.

成绩

射手

8环

9环

10环

甲

0.3

0.1

0.6

乙

0.2

0.5

0.3

解设甲、乙两射手射击一次所得的环数分别为X1,X2,

射手甲射击所得环数的均值比射手乙射击所得环数的均值大,从而说明甲的平均射击水平比乙的高.

例4某篮球运动员罚篮命中率是,那么平均来看,他4次罚篮能够命中多少次?

解设命中次数为X,则X的分布列如下表:

X

0

1

2

3

4

P

所以估计他4次罚篮能够命中2次.

两点分布:

X

1

0

P

P

1-p

思考:基于以上所学内容,回头看本课开始时的分奖金问题.

设甲、乙所得法郎数分别为X1,X2,则有分布列如下表:

X1

0

100

P

X2

0

100

P

故甲的期望所得为75法郎,乙的期望所得为25法郎.

思考作答,改写算式,并明确是频率.

思考作答.

理解均值(或期望)的概念并记忆.

结合引例,思考作答.

独立计算,完成例1.

独立完成例2和例3.

独立完成例4,思考作答.

独立完成服从两点分布的随机变量的均值求解,并回答本课开始时提出的问题.

在改写过程中体会平均数的计算方法,即数值与对应频率(概率)乘积之和.

体会这样的平均数反映平均水平,同时由问题中“预期”“期望”这样的词语引出“数学期望”.

理解均值(或期望)的概念并掌握.

明确概念后,结合引例让学生自己归纳出均值或数学期望的意义,加深对概念的理解.

结合实际生活中的一些专有名词,让学生体会数学概念用词的合理性.

结合与实际生