专题05 垂直平分线综合应用（原卷版）.pdfVIP

专题05垂直平分线综合应用

线段的垂直平分线与线段的两种关系：位置关系-垂直，数量关系-平分，利

用垂直平分线的这些性质可以求线段的长度、角的度数等，还可以解决实际生

活中的选址等问题。

解题思路

垂直平分线作图步骤：

1

1.分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；

2

2.作直线CD，CD为所求直线

垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到两边的距离相等。

典例分析

【典例1】（2022秋•秦淮区月考）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD

平分∠ABC．

（1）若∠ADB＝48°，求∠A的度数；

（2）若AB＝5cm，△ABC与△ABD的周长只差为8cm，且△ADB的面积为

2

10cm，求△DBC的面积．

【变式1-1】（2022秋•丛台区校级期末）如图，已知AB＝AC，BC＝6cm，△

CBD周长为14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△ACB的周长为

（）

A．22cmB．16cmC．17cmD．20cm

【变式1-2】（2022秋•天山区校级期末）如图，在△ABC中，BD是△ABC

中线，EF是BC边的中垂线，且BD与EF相交于点G，连结AG，CG，若四

边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为8和13，则△ABC的面积为（）

A．18B．20C．22D．36

【典例2】（2022秋•昭阳区校级月考）如图，在ABC中，DM，EN分别垂直平

分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．

（1）若△CMN的周长为18cm，求AB的长；

（2）若∠MFN＝65°，求∠MCN的度数．

【变式2-1】（2022秋•南开区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，

DG、EF分别垂直平分AB，AC，垂足分别为G，F，求∠DAE的度数．

【变式2-2】（2022秋•渝北区校级期末）如图，∠BAC＝105°，AB＝AC，若

MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（）

A．10°B．20°C．30°D．45°

【变式2-3】（2022秋•锡山区校级月考）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直

平分线分别交BC于点E、F．

（1）若△AEF的周长为10cm，求BC的长；

（2）若∠BAC＝110°，求∠EAF的度数．

夯实基础

1．（2022秋•大连期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝

3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）cm

A．13B．16C．19D．21

2．（2021春•新城区校级期末）如图，在△ABC中，直线l为边BC的垂直平分

线，l交AC于点Q，∠ABC的角平分线与l相交于点P．若∠BAC＝60°，

∠ACP＝24°，则∠PQC是（）

A．34°B．36°C．44°D．46°

3．（2022秋•东昌府区校级期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图

的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距

离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（）

A．三条高线的交点B．三边垂直平分线的交点