《概率论与数理统计》 教案 第3章 多维随机变量及其分布.docx

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课题

多维随机变量及其分布

课时

10课时（450min）

教学目标

知识技能目标：

（1）了解二维随机变量及其分布函数的定义和性质。

（2）理解边缘分布函数的定义和性质。

（3）掌握二维离散型随机变量的定义与分布律。

（4）掌握边缘分布律和条件分布律的定义与计算。

（5）掌握二维连续型随机变量的定义和概率密度。

（6）掌握边缘概率密度和条件概率密度的定义与计算。

（7）理解随机变量的独立性。

（8）理解二维随机变量的函数分布，掌握简单的两个随机变量的函数分布的计算。

素质目标：

树立实事求是、一丝不苟的科学精神。

教学重难点

教学重点：二维随机变量及其分布函数的定义、二维随机变量分布函数的性质、边缘分布函数、二维离散型随机变量及其分布律、边缘分布律、条件分布律、二维连续型随机变量及其概率密度、边缘概率密度、条件概率密度、二维随机变量的独立性、离散型随机变量的函数分布和连续型随机变量的函数分布

教学难点：计算与应用二维随机变量的函数分布

教学方法

问答法、讲授法、练习法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

问题导入

【教师】提出问题：

请同学分享一下现实生活中运用到多个随机变量的案例。

【学生】聆听、思考、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解二维随机变量及其分布函数的定义、二维随机变量分布函数的F(x,y)性质、边缘分布函数、二维离散型随机变量及其分布律、边缘分布律、条件分布律、二维连续型随机变量及其概率密度、边缘概率密度、条件概率密度、二维随机变量的独立性、离散型随机变量的函数分布和连续型随机变量的函数分布的相关知识

3.1二维随机变量及其分布

3.1.1二维随机变量及其分布函数的定义

定义3.1设是一个随机试验，它的样本空间是，设与是定义在同一样本空间上的两个随机变量，则称()为上的二维随机变量或二维随机向量，简记为．

二维随机变量的性质不仅与和有关，还依赖于这两个随机变量的相互关系．因此，逐个来研究和的性质是不够的，还需将作为一个整体进行研究．

定义3.2设是二维随机变量，对于任意，称二元函数

（3-1）

为二维随机变量的分布函数，或称其为随机变量和的联合分布函数．

【教师】利用多媒体展示“分布函数F(x,y)”和“计算随机点(X,Y)的概率”图片（详见教材），并进行讲解

若将二维随机变量看成平面上随机点的坐标，则分布函数在处的函数值就是随机点落在以点为顶点，且位于该点左下方无穷矩形域内的概率．由此，可以算出随机点落在矩形域内的概率为

．

3.1.2二维随机变量分布函数的性质

二维随机变量的分布函数具有下列性质．

（1）单调性：是或的单调不减函数．对于任意固定的，当时，

；对于任意固定的，当时，．

（2）有界性：，对于任意固定的或有

，，

且

，．

（3）右连续性：关于或是右连续的，即

，．

（4）非负性：对于任意实数，，都有

．

对于任意一个二元函数，必须满足上述性质才能成为某二维随机变量的分布函数．例如，对于

它满足性质（1）（2）（3），但由于

，

不满足性质（4），因此不能成为二维随机变量的分布函数．

3.1.3边缘分布函数

定义3.3二维随机变量作为一个整体，具有分布函数，而和也都是随机变量，各自也有分布函数，分别记作，，它们分别称为二维随机变量关于和关于的边缘分布函数．

若已知二维随机变量的分布函数，则有

，（3-3）

．（3-4）

【教师】利用多媒体展示“边缘分布函数”图片（详见教材），并进行讲解

从几何上来说，边缘分布函数和分别表示随机点落入Ⅰ、Ⅱ两个半平面内的概率，而这两个半平面的公共部分即为联合分布函数．

以上关于二维随机变量的讨论，可以推广到维随机变量的情况．设是定义在样本空间上的个随机变量，则由它们构成的称为维随机变量（或维随机向量）．对于任意个实数，函数

称为维随机变量的分布函数，或随机变量的联合分布函数．

【教师】讲解例题

设二维离散型随机变量的分布函数为

()．

（1）试确定常数；

（2）求事件的概率；

（3）求边缘分布函数．

解（1）由分布函数的性质得

，

，

．

由第一个式子可知

，，，

由第二、三个式子可知

，，

即，，从而．

因此，常数分别为．

（2）由（1）可知

．

由式（3-2）得

（3）由式（3-3）和式（3-4）得

．

【学生】聆听、理解、记忆

3.2二维离散型随机变量

3.2.1二维离散型随机变量及其分布律

定义3.4如果二维随机变量的所有可能取值是有限对或