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辽宁省大连市第二十高级中学2023届高三(实验班)第一次模拟数学试题试卷
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.的展开式中含的项的系数为()
A. B.60 C.70 D.80
2.已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
3.自2019年12月以来,在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例,研究表明,该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速,采取了有效的防控阻击措施,把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记,有3个不同的住户属在鄂返乡住户,负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生,现要求这4名医生都要分配出去,且每个住户家里都要有医生去检查登记,则不同的分配方案共有()
A.12种 B.24种 C.36种 D.72种
4.一个封闭的棱长为2的正方体容器,当水平放置时,如图,水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,则容器里水面的最大高度为()
A. B. C. D.
5.执行如图所示的程序框图,若输入,,则输出的()
A.4 B.5 C.6 D.7
6.函数的图象在点处的切线为,则在轴上的截距为()
A. B. C. D.
7.已知为虚数单位,若复数,则
A. B.
C. D.
8.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图,则它的外接球的表面积为()
A.4π B.8π C. D.
9.已知数列是公比为的等比数列,且,若数列是递增数列,则的取值范围为()
A. B. C. D.
10.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高,计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为()
A. B. C. D.
11.若平面向量,满足,则的最大值为()
A. B. C. D.
12.若函数f(x)=x3+x2-在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是
A.[-5,0) B.(-5,0) C.[-3,0) D.(-3,0)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知集合,,则__________.
14.如图所示,在正三棱柱中,是的中点,,则异面直线与所成的角为____.
15.已知实数x,y满足(2x-y)2+4y
16.已知为等比数列,是它的前项和.若,且与的等差中项为,则__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在中,角所对的边分别是,且.
(1)求;
(2)若,求.
18.(12分)在平面直角坐标系中,为直线上动点,过点作抛物线:的两条切线,,切点分别为,,为的中点.
(1)证明:轴;
(2)直线是否恒过定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.
19.(12分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
20.(12分)如图,三棱柱中,侧面是菱形,其对角线的交点为,且.
(1)求证:平面;
(2)设,若直线与平面所成的角为,求二面角的正弦值.
21.(12分)已知数列和,前项和为,且,是各项均为正数的等比数列,且,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前项和.
22.(10分)已知椭圆:的离心率为,直线:与以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点,过点的直线交椭圆于,两点,直线,分别交直线于,两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)以线段为直径的圆是否过定点?若是,写出所有定点的坐标;若不是,请说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.B
【解析】
展开式中含的项是由的展
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