2024年九年级数学上学期期末考点练习解一元二次方程含解析.docxVIP

解一元二次方程

方法一：配方法（最基础的解法）

配方的过程需留意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”

用配方法解一元二次方程的一般步骤

移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；

二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；

配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；

【留意】1）当时，方程无解

2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”

求解：推断右边等式符号，开平方并求解。

典例1下列用配方法解方程的步骤中，起先出现错误的步骤是（）

，①

，②

，③

．④

A．① B．② C．③ D．④

【答案】C

【详解】步骤③，配方时，方程的左、右两边应同时加上一次项系数一半的平方，即方程的左、右两边应同时加上．

故选C．

典例2用配方法解下列方程，其中应在方程的左、右两边同时加上1的是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】A.∵，

∴，

∴，故不符合题意；

B.∵，

∴，

∴，

∴，故符合题意；

C.∵，

∴，故不符合题意；

D.∵，

∴，

∴，故不符合题意.

故选B.

典例3用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，

移项得，

配方得，

即．

故选D．

方法二：干脆开平方法（最基础的解法）

概念：形如的方程可以用干脆开平方法解，两边干脆开平方得或者

，最终通过解两个一元一次方程得到原方程的解。

【留意】

1)若b≥0，方程有两个实数根。

（若b0，方程有两个不相等的实数根；若b=0，方程有两个相等的实数根）

2)若b0，方程无解。

典例1假如一个一元二次方程的根是，那么这个方程是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】A.∵，

∴x1=2，x2=-2，故不符合题意；

B.∵，

∴，

∴原方程没有实数根，故不符合题意；

C.∵，

∴x-2=0，

∴x1=x2=2，符合题意；

D.∵，

∴x+2=0,

∴x1=x2=-2，故不符合题意；

故选C.

典例2方程的根是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】原方程可化为，直

接开平方得，

所以，．

故选C．

方法三：公式法（常用解法）

一元二次方程根的判别式：

方程有两个不相等的实根:（）的图像与轴有两个交点

方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点

方程无实根的图像与轴没有交点

用公式法解一元二次方程的一般步骤：

把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，便利计算);

求出b2-4ac的值，依据其值的状况确定一元二次方程是否有解;

假如b2-4ac≥0,将a、b、c的值代入求根公式：

最终求出x1，x2

典例1若关于x的方程x2+4x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值为()

A．﹣4 B．2 C．4 D．8

【答案】C

【详解】∵关于x的方程x2+4x+a＝0有两个相等的实数根，

∴△＝42﹣4×1×a＝0，

解得：a＝4，

故选：C．

典例2下列方程中，没有实数根的是（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】当a=2，b=-5，c=2时，△=b2-4ac=25-16=9＞0，方程有两个不相等的实数根，故选项A不合题意；

当a=1，b=3，c=4时，△=b2-4ac=9-16=-7＜0，方程没有实数根，故选项B符合题意；

当a=1，b=-2，c=1时，△=b2-4ac=4-4=＞0，方程有两个相等的实数根，故选项C不合题意；

当a=1，b=-2，c=-2时，△=b2-4ac=4+8=120，方程有两个不相等的实数根，故选项D不合题意；

故选B.

典例3若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）

A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜

【答案】D

【详解】∵关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有实数根，

∴k≠0且△=（-1）2-4k≥0，

解得：且k≠0．

故选C．

典例4一元二次方程根的状况为（）

A．有两个相等的实数根 B．有两个正实数根

C．有两个不相等的实数根 D．有两个负实数根

【答案】C

【详解】解：∵在方程x2+2x-1=0中，△=22-4×1×（-1）=8＞0，

∴方程x2+2x-1=0有两个不相等的实数根．

故选：C．

方法四：因式分解法（细致视察方程，敏捷运用）

用因式分解一元二次方程的一般步骤：

将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；

将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；

令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

求解

归纳：右化零，左分解，两因式，各求解

典例1（2024春太原市期末）一元二次方程的根为（）

A．0 B．3 C．0或﹣3 D．0或3

【答案】C