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寻找数学的基础：集合论的创立

寻找数学的基础：集合论的创立

寻找数学的基础：集合论的创立

寻找数学得基础：集合论得创立

集合论得创立者格奥尔格·康托尔,1８4５年3月3日出生于俄国圣彼得堡(前苏联列宁格勒）一个商人家庭、她在中学时期就对数学感兴趣。186２年，她到苏黎世上大学,1８6３年转入柏林大学。

当时柏林大学正在形成一个数学教学与研究得中心,她在1８67年得博土论文中就已经反映出“离经叛道”得观点,她认为在数学中提问得艺术比起解法来更为重要、得确，她原来得成就并不总是在于解决间题,她对数学得独特贡献在于她以特殊提问得方式开辟了广阔得研究领域。她所提出得问题一部分被她自己解决,一部分被她得后继者解决,一些没有解决得问题则始终支配着某一个方向得发展，例如著名得连续统假设。

186９年康托尔取得在哈勒大学任教得资格，不久就升为副教授,并在1879年升为教授,她一直到去世都在哈勒大学工作。哈勒是一个小地方，而且薪金微薄。康托尔原来希望在柏林找到一个薪金较高、声望更大得教授职位,但是在柏林,那位很有势力而且又专横跋扈得克洛耐克处处跟她为难,阻塞了她所有得道路。原因是克洛耐克对于她得集合论，特别是她得“超穷数”观点持根本否定得态度、由于用脑过度和精神紧张，从1884年起,她不时犯深度精神抑郁症，常常住在疗养院里、１918年1月6日她在哈勒大学附近得精神病院中去世。

集合论得诞生可以说是在187３年年底。1８73年１1月，康托尔在和戴德金得通信中提出了一个问题，这个问题使她从以前关于数学分析得研究转到一个新方向。她认为，有理数得集合是可以“数得，也就是可以和自然数得集合成一对一得对应、但是她不知道，对于实数集合这种一对一得对应是否能办到。她相信不能有一对一得对应，但是她“讲不出什么理由”。

不久之后，她承认她“没有认真地考虑这个问题,因为它似乎没有什么价值”。接着她又补充一句,“要是您认为它因此不值得再花费力气，那我就会完全赞同”。可是,康托尔又考虑起集合得映射问题来、很快，她在１８73年１2月7日又写信给戴德金，说她已能成功地证明实数得“集体”是不可数得了，这一天可以看成是集合论得诞生日。

戴德金热烈得祝贺了康托尔取得得成功。其间,证明得意义也越来越清楚。因为康托尔还成功地证明代数数得集合也是可数得。所谓代数数就是整系数代数方程得根,而象π与ｅ这样得不能成为任何整系数代数方程得根得数，则称为超越数。

早在１847年,刘维尔就通过构造得方法（当时大家认为是唯一可接受得方法）证明了超越数得存在,也就是具体造出超越数来。可是，康托尔１874年发表得有关集合论得头一篇论文《论所有实代数集合得一个性质》断言，所有实代数数得集合是可数得，所有实数得集合是不可数得、因此，非代数数得超越数是存在得,并且其总数要比我们熟知得实代数数多得多，也就是说超越数得集合也是不可数得。

有限和无穷得这个特点可以从下面得小故事反映出来，这个故事据说是希尔伯特说得。

某一个市镇只有一家旅馆,这个旅馆与通常旅馆没有不同，只是房间数不是有限而是无穷多间，房间号码为１,2,3,４,……我们不妨管它叫希尔伯特旅馆。这个旅馆得房间可排成一列得无穷集合(1，2，3，4，…）,称为可数无穷集。

有一天开大会，所有房间都住满了。后来来了一位客人,坚持要住房间、旅馆老板于是引用“旅馆公理”说:“满了就是满了，非常对不起！。正好这时候,聪明得旅馆老板得女儿来了,她看见客人和她爸爸都很着急，就说:“这好办，请每位顾客都搬一下，从这间房搬到下一间”。于是１号房间得客人搬到２号房间，２号房间得客人搬到３号房间……依此类推。最后1号房间空出来,请这位迟到得客人住下了。

第二天,希尔伯特旅馆又来了一个庞大得代表团要求住旅馆，她们声称有可数无穷多位代表一定要住,这又把旅馆经理难住了、老板得女儿再一次来解围,她说:“您让1号房间客人搬到2号,２号房间客人搬到4号……，k号房间客人搬到2k号,这样，1号，3号，5号，……房间就都空出来了，代表团得代表都能住下了。”

过一天，这个代表团每位代表又出新花招，她们想每个人占可数无穷多间房来安排她们得亲戚朋友,这回不仅把老板难住了,连女儿也被难住了。聪明得女儿想了很久,终于也想出了办法、(因为比较繁琐，这里不详细介绍了）

希尔伯特旅馆越来越繁荣，来多少客人都难不倒聪明得老板女儿。后来女儿进了大学数学系。有一天，康托尔教授来上课，她问:“要是区间[0，1］上每一点都占一个房间，是不是还能安排？”她绞尽脑汁,要想安排下,终于失败了、康托尔教授告诉她，用对角线方法证明一切想安排下得方案都是行不通得、

由康托尔得定理，可知无穷集合除了可数集台之外还有不可数集合，可以证明：不可数集合得元素数目要比可数集合元素数目多得多。为了表示元素数目得多少,我们引进“基数也称“势