人教B版高中数学选择性必修第一册课后习题 第1章 空间向量与立体几何 1.2.4 二面角.docVIP

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1.2.4二面角

课后训练巩固提升

A组

1.在一个二面角的两个面内,都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为 ()

A.156 B.-

C.153

解析:令n1=(0,-1,3),n2=(2,2,4),cosn1,n2=(0,-1,3)·(2,2,4)1+9

答案:D

2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1和DD1的中点,则平面ECF与平面ABCD的夹角的余弦值为()

A.33 B.63 C.1

答案:B

3.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,D为AB的中点,沿中线将△ACD折起使得AB=13,则二面角A-CD-B的大小为()

A.60° B.90° C.120° D.150°

答案:C

4.已知四边形ABCD是正方形,E是AB的中点,将△DAE和△CBE分别沿DE,CE折起,使AE与BE重合,A,B两点重合后记为点P,则二面角P-CD-E的大小为 ()

A.30° B.45° C.60° D.90°

解析:取CD的中点F,由二面角定义知∠PFE为其平面角.设PE=a,则EF=2a,

∴sinθ=a2a

∴二面角P-CD-E的大小为30°.

答案:A

5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为 ()

A.-12 B.23 C.3

解析:以D为坐标原点,DA,

设正方体的棱长为1,

则D(0,0,0),A1(1,0,1),E1,1,12.

∴DA1=(1,0,1),DE=1,1,12

设平面A1ED的一个法向量为n=(x,y,z).

则D

令x=1,则z=-1,y=-12

∴n=1,-12,-1.

又平面ABCD的一个法向量为DD

∴cosn,DD1=-1

又平面A1ED与平面ABCD所成的二面角为锐角,

∴平面A1ED与平面ABCD所成二面角的余弦值为23

答案:B

6.如图,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB?α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是.?

解析:过点A作平面β的垂线,垂足为C,在平面β内过C作l的垂线,垂足为点D,连接AD.

由三垂线定理可知AD⊥l,故∠ADC为二面角α-l-β的平面角,大小为60°.

由已知,∠ABD=30°,连接CB,则∠ABC为AB与平面β所成的角.

设AD=2,则AC=3,AB=ADsin30

∴sin∠ABC=ACAB

答案:3

7.在边长为a的正三角形ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B-AD-C后,BC=12a,这时二面角B-AD-C的大小为

解析:∠BDC就是二面角B-AD-C的平面角.

又BC=BD=DC=12a,因此△BDC为等边三角形,得∠BDC=π3,故二面角B-AD-C的大小为

答案:π

8.若正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,则它的侧面和底面所成二面角的大小为.?

答案:60°

9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=BB1=1,E为D1C1的中点,求二面角E-BD-C的正切值.

解:如图,连接ED,BD,BE,取CD的中点F,作FM⊥BD并交BD于点M,连接EM,EF,BF,

∴∠EMF为二面角E-BD-C的平面角,

设∠EMF=θ.

∵S△BDF=S△EBD·cosθ,而S△BDF=12DF·AD=12×1×1=12,又BD=5,ED=2

∴ED2+BE2=BD2,

∴DE⊥EB,∴S△EBD=12ED·BE=6

∴cosθ=S△BDFS

故二面角E-BD-C的正切值为5.

10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,BB1=26,点E为AB的中点,过C1,D,E的平面交BB1于点F.

(1)求证:EF∥DC1;

(2)求二面角C1-DE-C的大小.

(1)证明:∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1,平面EFC1D1∩平面A1B=EF,平面EFC1D∩平面DCC1D1=DC1,∴EF∥DC1.

(2)解:以D为坐标原点,DA,

则D(0,0,0),E(2,2,0),C1(0,4,26),C(0,4,0).

显然平面DEC的一个法向量为n=(0,0,1).设平面C1DE的一个法向量为m=(x,y,z),

则m

令y=-1,得x=1,z=42

∴m=(1,-1,63),cosm,n=n·m|n||m

故二面角C1-DE-C的大小为π3

B组

1.在正四棱锥P-ABCD中,高为1,底边边长为2,则侧面与底面的夹角为()

A.60° B.30°

C.45° D.无法计算

解析:设O为