2025年高考数学一轮复习练习题含答案解析 向量中的最值（范围）问题.pdfVIP

2025年高考数学一轮复习练习题含答案解析

向量中的最值(范围)问题

题型分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题

综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范

围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解决思路是建立

目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的

双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.

题型一与系数有关的最值(范围)问题

例1(2023·广州模拟)如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为

23x

－

→→→

AFAEDC

线段BD上的一动点，若＝x＋y(x＞0，y＞0)，则的最大值为()

2

4y＋1

13

A.B.

24

C.1D.2

答案A

解析设BD，AE交于点O，因为DE∥AB，

所以△AOB∽△EOD，

AOAB

所以＝＝2，

OEDE

3

→→

AEAO

所以AO＝2OE，则＝，

2

→→→3→→

AFAEDCAOAB

所以＝x＋y＝x＋y，

2

因为O，F，B三点共线，

3

所以x＋y＝1，即2－3x＝2y，

2

2－3x2y2

所以＝＝，

221

4y＋14y＋14y＋

y

因为x＞0，y＞0，

11

4y24y·4

所以＋≥＝，

yy

11

当且仅当4y＝，即y＝时等号成立，

y2

1

此时x＝，

3

2－3x221

所以2＝1≤＝.

4y＋14y＋42

y

感悟提升此类问题的一般解题步骤是

第一步：利用向量的运算将问题转化为相应的等式关系；

第二步：运用基本不等式或函数的性质求其最值.

→→

1OAOB120°CO

训练已知，是两个夹角为的单位向量，如图所示，点在以为

︵→→→

ABOCOAOB

圆心的上运动.若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的