华东师大版八年级数学上册同步备课：第14章勾股定理14.1勾股定理14.1.3反证法.docVIP

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14．1.3反证法

1．理解反证法．

2．会用反证法证明较简单的题．

重点

用反证法证明几何命题．

难点

反证法中渗透“正难则反”的思想．

一、创设情境

出示多媒体,展示《路旁苦李》的故事的动画场景,引入反证法的课题．

二、探究新知

(一)提出问题

1．两点确定________条直线：过直线外一点有且只有________条直线与已知直线平行；过一点有且只有________条直线与已知直线垂直．

2．在Rt△ABC中,如果AB＝c,BC＝a,AC＝b,且∠C＝90°,那么a,b,c三边有怎样的关系？

(二)问题探究

1．问题：若将上面的条件改为“在△ABC中,AB＝c,BC＝a,AC＝b,∠C≠90°”,请问结论a2＋b2≠c2成立吗？请说明理由．

2．探究：假设a2－b2＝c2,由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形,且∠C＝90°,这与已知条件∠C≠90°矛盾,因此假设不成立,从而说明原结论a2＋b2≠c2成立．

3．归纳：这种证明方法与前面的证明方法不同,它是首先假设结论的反面成立,然后经过正确的逻辑推理,得出与已知、定理、公理、定义矛盾的结论,从而得到原结论正确．像这样的证明方法叫做反证法．

4．应用

例1(教材第116页例5)求证：两条直线相交只有一个交点．

已知：两条相交直线l1与l2.

求证：l1与l2只有一个交点．

证明：假设l1与l2不止一个交点,不妨假设l1与l2有两个交点A和B,因为两点确定一条直线,即经过点A和B的直线只有一条,与已知两条直线矛盾,所以两条直线相交只有一个交点．

例2(教材第116页例6)求证：在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.

已知：△ABC.

求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.

例3(补充)求证：如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行．

(1)你首先会选择哪一种证明方法？

(2)如果你选择反证法,先怎样假设？结果和什么产生矛盾？

(3)能不用反证法证明吗？你是怎样证明的？

三、练习巩固

1．写出用“反证法”证明下列命题的第一步假设．

(1)互补的两个角不能都大于90°；

(2)在△ABC中,最多有一个钝角；

(3)在△ABC中,最大的一个内角不小于60°.

2．反证法证明：如果实数a,b满足a2＋b2＝0,那么a＝0且b＝0.

四、小结与作业

小结

这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师归纳总结．

作业

教材第117页练习第2题．

反证法是一种重要的证题方法,也是初中数学的难点,如何突破这一难点,并让学生更好地理解和掌握是需要教师精心设计的．在教学时应注意三个思维障碍：1.思维方向的转换,不能总用直接法；2.证明步骤存在障碍；3.归谬起点推证存在障碍．为使学生更好地理解并掌握反证法,应积极引导学生克服上述思维上的障碍,并通过有关题目训练,使学生掌握反证法．

教师在教学中应强调当结论的反面不止一种情况时,应穷举；“归谬”这一步应包含“归导”与“揭谬”两个层次．