4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系 第2课时 两平面所成的角、空间中的距离问题.pptx

4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系第2课时两平面所成的角、空间中的距离问题

某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水渠,此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的一个点P处,要想使这个管道的长度理论上最短,应该如何设计?情境导入

1.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.2.能用向量方法解决点到平面、点到直线的距离问题.会用向量的方法求面与面所成的二面角、点到平面的距离、点到直线的距离培养学生数学运算能力以及直观想象.课标要求素养要求

探究点1用向量求两个平面所成的角?探究导学

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一般地,已知n1,n2分别为平面α,β的法向量,则二面角α-l-β的平面角与两法向量所成角〈n1,n2〉相等(如图3-47(1))或互补(如图3-47(2)).

例10如图3-48,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-ABCD,求二面角A-DC-A的平面角.图3-48?

例10如图3-48,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-ABCD,求二面角A-DC-A的平面角.图3-48?

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探究点2用向量研究空间中的距离问题几何学中,经常需要计算两个图形间的距离.一个图形内任一点与另一个图形内任一点的距离中的最小值,通常叫作这两个图形的距离.空间中常见的距离有:两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离等.计算距离是空间度量最基本的问题,如何用向量方法求解这些距离呢？

回顾平面内直线l外一点P到直线l距离的几种求解方法.方法如下：1.综合几何方法:如图3-50(1),过点P作直线l的垂线,垂足为点D1,一般转化为求三角形的高,即PD1的长度.图3-50

?图3-50

①点到直线的距离就等于过这点向直线所引垂线段的长度;②点到平面的距离就等于过这点向平面所作垂线段的长度;③如果一条直线和一个平面平行,它们之间的距离就等于过这条直线上任意一点向该平面所作垂线段的长度;④两个平行平面间的距离就等于这两个平面的垂线夹在两个平行平面间的线段的长度.几种距离

垂直反映了距离的本质.用向量方法求解距离,也要抓住这一点.无论是对于平面还是直线,法向量都是反映垂直方向的最为直观的表达形式,因此可以通过一个向量在法向量方向上作投影向量的方法来求解距离.

?图3-511.点到平面的距离

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例13在单位正方体ABCD-ABCD中,点M是侧面ABBA的中心.判断直线CM与平面ACD是否平行.若平行,请证明你的结论,并求直线CM到平面ACD的距离;若不平行,请说明理由.?

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用向量方法求解点到平面的距离问题的一般步骤是：(1)确定一个法向量;(2)选择参考向量;(3)确定参考向量在法向量方向上的投影向量;(4)求投影向量的长度.

1.点到直线的距离如图3-55,设点P是直线I外一点山是直线I的单位方向向量,过点P作直线/的垂线,垂足为点P,则垂线段FF的长度就是点P到直线Z的距离.如何求这个距离呢？

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若点P是直线l外一点,l0是直线l的单位方向向量,点A是直线l上任意一点,则点P到直线l的距离为?

例15如图3-57,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-ABCD,AB=1,BC=2,AA=3.用向量的方法求点B到直线AC的距离.?

ACD课堂评价

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45o或135o

1.一般地,已知n1,n2分别为平面α,β的法向量,则二面角α-l-β的平面角与两法向量所成角〈n1,n2〉相等(如图3-47(1))或互补(如图3-47(2)).??课堂小结

3.若点P是直线l外一点,l0是直线l的单位方向向量,点A是直线l上任意一点,则点P到直线l的距离为?