数学学案：第四章第节数系的扩充与复数的引入（第2课时）.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

1。2复数的有关概念

1．理解复数的有关概念及两个复数相等的充要条件．

2．了解复平面的概念，理解并掌握复数的几何意义．

1．a＋bi＝c＋di(a,b，c，d∈R）的充要条件为________．

【做一做1】复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为

A．1 B．1或－4 C．－4 D．

由复数相等的概念，我们就可以进行复数的运算、变形，使用时要注意搞清楚复数的实部、虚部分别是什么．特别地,a＋bi＝0?a＝b＝0.

2．当用直角坐标平面内的点来表示复数时,我们称这个直角坐标平面为______,x轴称为______，y轴称为______．

【做一做2】复数z＝3－4i在复平面内的对应点关于虚轴的对称点对应的复数为(）．

A．z′＝3＋4i B．z′＝－3＋4i

C．z′＝－3－4i D．z′＝3－4i

表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上．

3．任一个复数z＝a＋bi与复平面内的点________一一对应,也与平面向量________是一一对应的．

【做一做3】若复数z＝a＋bi(a，b∈R）对应的点位于复平面的第四象限,则b＋ai对应的点位于复平面的第__________象限．

建立了复平面，就可以把复平面内的点与复数建立对应关系，就可以用复平面内的点来表示复数,也可以把复数与复平面内的向量联系起来，即可以用复平面内的向量表示复数．

4．设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z（a，b）,点Z到原点的距离｜OZ｜叫作________________，记作｜z｜，显然__________．

【做一做4】若2＋ai＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数z＝a＋bi的模等于()．

A．1 B．2 C. D．5

复数z的模是一个非负实数,两个不都是实数的复数不能比较大小，但是它们的模可以比较大小．

答案：1。

【做一做1】C由题意，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（4－3a＝a2，,－a2＝4a,)）解得a＝－4。

2．复平面实轴虚轴

【做一做2】C

3．Z（a，b)Oeq\o(Z,\s\up6（→)）＝（a，b)

【做一做3】二由题意，知a＞0，b＜0，则点(b,a）位于第二象限．

4．复数z的模或绝对值|z｜＝eq\r（a2＋b2）

【做一做4】C2＋ai＝b－i?a＝－1，b＝2，则｜z|＝eq\r（1＋4)＝eq\r(5）。

1．复数与复平面内的向量的对应关系

剖析：复平面内的点Z（a，b)与平面向量eq\o(OZ，\s\up6(→））是一一对应的,故一个复数z＝a＋bi与复平面内的向量eq\o(OZ，\s\up6（→))＝(a，b)也是一一对应的，它们的关系如图所示．根据复数相等的定义和向量相等的定义可知，在复平面内有无数个相等的向量与复数z对应，但从原点出发的只有一个．

2．复数的模的几何意义

剖析：复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z（a,b)到原点的距离．其中|z｜＝r的轨迹就是以原点为圆心、以r为半径的圆，当r＝1时为单位圆，复数的模是实数的绝对值的概念的推广,当复数z为实数时,|z｜就是实数的绝对值．

题型一复数相等

【例题1】已知(2x－3y)＋（x－y＋1)i＝(x－y）＋（3x－4y)i，求实数x，y的值．

分析：根据复数相等的定义，将等式转化为关于x，y的方程组来求解．

反思:两个复数相等的充要条件是实部与实部相等,虚部与虚部相等，这样就把复数方程转化为实数方程组了．做题时要注意未知量的取值范围是实数还是复数,以便能够分清复数的实部和虚部．

题型二复数的几何意义

【例题2】已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限内，求实数x的取值范围．

分析：复数z与复平面内的点一一对应，由实部与虚部的符号决定复数对应的点位于第几象限．

反思：复数z＝a＋bi在复平面内对应着唯一的点Z（a,b)．根据点的位置可以确定实数x的取值范围．

题型三复数的模的计算

【例题3】已知z1＝x2＋eq\r（x2＋1)i，z2＝(x2＋a）i，对于任意x∈R，有｜z1|＞|z2｜成立，试求实数a的取值范围．

分析：复数z与复平面内的向量eq\o（OZ,\s\up6(→）)对应,|z｜的几何意义是复数z对应的点到原点O的距离．

反思：复数z＝a＋bi(a，b∈R）的模|z｜＝eq\r(a2＋b2）为非负实数，可以比较大小．题目中的不等式对任意x∈R都成立,即恒成立．要注意不等式的类型,不确