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高中数学精编资源
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《二项式定理的推导》教学设计一
教学设计
一、情境引入
1664年冬,22岁的牛顿在研读沃利斯博士的《无穷算术》时引发了许多思考:
……
一般情况下,当n∈N+时,
【师生活动】教师提出问题:
(1)你能快速说出的结果吗？
(2)的结果呢？的结果呢？
教师由此引出课题,板书题目.
学生口答.
设计意图:与数学史相结合引出课题,激发学生的学习兴趣.同时从学生的认知水平出发,设置问题更能调动学生学习新知识的积极性.
二、探究新知
1.探究的展开式
问题1(1)合并同类项之前展开式有多少项？
(2)展开式中有哪些类型的项,这些项是如何得到的？
(3)展开式中各项的次数与二项式的次数有什么关系？每一项都可以写成什么样的形式？
问题2展开式中各项的系数是如何确定的？(即每一类型的项的个数怎样计算？)
填一填
(1)是从______个(a+b)中取相乘而得到的,相当于从______个(a+b)中取______个b的组合数______,因此的系数是______.
(2)ab是从一个(a+b)中取______,______个(a+b)中取______相乘而得到的,相当于从______个(a+b)中取______个b的组合数______,因此ab的系数是______.
(3)是从______个(a+b)中取______相乘而得到的,相当于从______个(a+b)中取______个b的组合数______,因此b的系数是______.
(a+b)2的展开式用组合数表示为(a+b)2=______.
【师生活动】引导学生详细写出用多项式乘法法则得到(a+b)2展开式的过程.
学生动手完成.
教师提示:
(1)借助两个计数原理分析展开式中的项数.
(2)联系组合知识,以取b为例.
鼓励学生积极踊跃发言,教师针对学生的思路做出分析和讲解.
学生带着问题去观察展开式,引发思考积极参与互动,说出自己见解.
教师借助多媒体动画演示全过程后,引导学生完成填一填的内容.
学生根据刚才师生互动过程中获得的知识,独立完成填一填内容.
教师巡视课堂并对个别有问题的学生给予适当的指导.
学生订正答案并改错,同桌交流出错的原因.
设计意图:具有导向性的问题能指引学生明确研究方向,培养学生的观察、分析、概括能力；动画演示可以加深学生对展开式来龙去脉的理解,为合作探究作铺垫；这个过程让学生亲身经历了从“繁杂计算之苦”到领悟“分步乘法计数原理与组合数的简洁美”,这也是一个内化的过程.
2.学生自主探究
你能仿照上述过程,推导一下的展开式吗？
【师生活动】师生共同点评进行完善;学生自主完成,并展示探究的过程.
设计意图:巩固已有思想方法,建立猜想二项式定理的认知基础.
3.小组合作
你能猜想一下的展开式并给出证明吗？
请完成以下内容:
(1)为什么每一项都是的形式？
(2)为什么含的项的系数是？
(3)=______.
①展开式中有______项.
②各项的次数______都等于二项式的次数.
③字母a,b的次数的变化规律:______.
④二项式系数:______.
⑤二项式通项______是二项展开式中第______项.
【师生活动】教师引导学生在讨论过程中要明确每一项的形式及相应的个数.
教师关注小组活动的完成情况,并进行适时指导.
学生先自主探究后再进行小组讨论.
小组展示,其他小组进行纠正和补充.
多媒体展示答案,并及时讲解巡视课堂过程中发现的问题.
教师给出推导过程如下:
(1)展开式每一项的特征
根据多项式的乘法法则,在每个因式(a+b)中任选其中一项作为因子,只有a和b两种选择,即不选a,就选b.先从第1个因式(a+b)中选一项作为因子,再从第2个因式(a+b)中选一项作为因子,依此类推,最后从第n个因式(a+b)中选一项作为因子.这n个因子的乘积构成一个单项式.由此可知:展开式的每一项由若干个“a”与若干个“b”的乘积构成,并且a和b的总个数为n,若b的个数为k,则a的个数为n-k,即(k=0,1,2,…,n).
(2)同类项的个数
从n个因式(a+b)中,若选出个(a+b),在这k个(a+b)中只取“b”不取“a”,在余下的(n-k)个(a+b)中只取“a”不取“b”,这样得到的乘积都是.因此,的同类项个数为,即的同类项个数就是从n个(a+b)中选出k个(a+b)的组合数.
(3)抽象概括,形成结论
的展开式中共有(n+1)种不同的同类项:
(k=0,1,2,…,n),相应的个数为(k=0,1,2,…,n).因此,根据分类加法计数原理,其展开式为.①
上式可简写成
公式①称为二项式定理,等号右边的式子称为的二项展开式,的二项展开式共有(n+1)项,其中各项系数(k=0,1,2,
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