人教版九年级数学上册探解圆中最值问题三种基本思路.pdfVIP

探解圆中最值问题的三种基本思路

圆中研究最值是近几年中考的一个突显亮点，背景丰富饶创意，解法灵便有创新，堪称八仙过

海，各显其能，是一个值得深思和研究的好课题.下面就结合2019年的考题，向大家介绍

这类最值的探解基本思路，供学习时借鉴.

一、直径是圆中最长的弦为依据求最值

1.研究三角形中位线的最大值

例1（2019年东营）如图1，AC是⊙O的弦，AC=5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC=45°，

若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．

1

剖析：因为点M，N分别是BC，AC的中点，所以MN=AB，所以当弦AB获取最大值时，MN

2

就获取最大值，因为直径是圆中最大的弦，所以当弦AB是直径时，AB最大，如图1，连结

AO并延伸交⊙O于点B′，连结CB′，因为AB′是⊙O的直径，所以∠ACB′=90°．

22

因为∠ABC=45°，AC=5，所以∠AB′C=45°，所以AB′=55=52，所以MN的最

大

52

值为MN=．所以应该填．

最大

2

议论：当线段是圆的某条弦时，熟记直径是圆中最大的弦是解题的重点.

2.研究圆上动点到定弦的最大值

例2（2019?广元）如图2，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上

的动点，且∠BPC=60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是．

剖析：如图2，过O作OM⊥AC于M，延伸MO交⊙O于P，则此时，点P到AC的距离最

大，且点P到AC距离的最大值=PM，因为OM⊥AC，∠A=∠BPC=60°，⊙O的半径为6，

1/5

33

所以OP=OA=6，所以OM=OA＝×6＝33，所以PM=OP+OM=6+33，所以点P到AC

22

33

距离的最大值是6+3，所以答案为6+3．

议论：圆上动点到定弦距离的最大值就是垂直均分线弦的直径的两个端点到弦的距离，这是

垂径定理的应用，也是直径是圆中最大的弦的应用.此法也是用于在拱形被骗算最值.

2.研究圆上动点与线段上动点组成线段的最大值与最小值的和

例3（2019?玉林）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点O是AB的三均分点，

半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）

A．5B．6C．7D．8

剖析：如图3，设⊙O与AC相切于点D，连结OD，作OP⊥BC垂