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高中数学精编资源
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《二项式系数的性质》教学设计
教学设计
一、情境引入
二项式定理与二项式系数是怎样定义的？
1.二项式定理:.
2.二项式系数:.
这节课我们来研究二项式系数的性质.
设计意图:通过复习二项式定理与二项式系数,为研究二项式系数的性质作准备.
二、探究新知
多媒体出示:当n依次取1,2,3,…时,(a+b)n展开式的二项式系数如下表,你能将下表填写完整吗？
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1
2
3
4
5
6
教师操作课件,引导学生将(a+b)n展开式的二项式系数表补充完整.
教师出示结论如下图:
上图中的表叫作二项式系数表,历史上也称为杨辉三角.
设计意图:通过设计这个探究活动,学生可以从二项式系数表中获得二项式系数相关性质的直观感受,在n不大的情况下,可以通过这个表获得其他二项展开式的二项式系数.
教师让学生观察杨辉三角,并提出以下问题让学生思考后回答:
(1)杨辉三角有什么规律？
(2)上下两行的系数有什么关系？
(3)根据上面一行的系数,你能写出下面一行的系数吗？
学生观察杨辉三角,说说自己的发现,师生共同归纳总结杨辉三角的规律:
表中每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和.事实上,设表中任意一个不为“1”的数为,那么它“肩上”的两个数分别为和,由组合数的性质2得到:.
设计意图:培养学生的观察能力和探索归纳能力.
三、典例探究
例1根据杨辉三角,写出(a+b)7的二项式系数.
解从杨辉三角知道,(a+b)6的各二项式系数为1,6,15,20,15,6,1.根据其规律,有
所以(a+b)7的各二项式系数为1,7,21,35,35,21,7,1.
设计意图:掌握杨辉三角形的特点,能够熟练地根据杨辉三角写出二项展开式的二项式系数.
例2求证:.
证明由二项式定理,有.
令a=b=1,则.
设计意图:掌握赋值法,并且将此例题结论作为二项式系数的性质掌握.
四、课堂小结
通过本节课的学习,你有哪些收获和体会？
延伸:今天同学们探索了二项式系数的一些性质,但二项式系数表中规律奥妙无穷,只要大家从不同角度用合情推理和严谨的态度必能发现更多有趣的规律.
设计意图:通过课堂小结、总结与反思,使学生更好地掌握本节所学知识,体会探究过程中渗透的数学思想方法.
五、布置作业
教材第172页练习第1,2题.
板书设计
4.2二项式系数的性质
杨辉三角
杨辉三角的规律:
表中每行两端都是1,而且除1之外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和
例1
例2
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