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《空间中的距离问题》教学设计二

教学设计

一、知识梳理

师:1.平面上两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离各是怎样定义的？

2.你能根据上述距离定义空间中两点之间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、平行于平面的直线到该平面的距离、相互平面的两个平面间的距离吗？

生:回答教师提出的问题,讨论并思考如何定义空间中的各种距离,尝试给它们下定义.

师:总结学生的各种议论,多媒体给出空间中各种距离的定义

(1)点点距:两点之间连线的线段长;

(2)点线距:过这点向直线所引垂线段的长度;

(3)点面距:过这点向平面所作垂线段的长度;

(4)直线到与它平行平面的距离:过这条直线上任意一点向该平面所作垂线段的长度;

(5)两个平行平面间的距离:这两个平面的垂线夹在两个平行平面间的线段的长度:

生:理解概念,找出与平面上距离概念的区别与联系.

师:根据平面上各种距离的求法,思考空间距离应如何求？请结合教材内容讨论.

生:分组讨论,得到最终求距离的方法.

(1)几何法:构造三角形,解三角形;

(2)等体积法:构造三角形,利用面积相等求点线距;构造三棱锥,利用体积相等求点面距;

(3)向量法:建系,转化为求向量的模问题.

①点到平面的距离

点P到平面的距离,等于点P与平面内任意一点A连线所得向量,在平面的单位法向量方向上所作投影向量的长度,即

②点到直线的距离

若点P是直线l外一点,是直线l(的单位方向向量,点A是直线l上任意一点,则点P到直线l的距离为d

(4)直线到与它平行平面的距离、两个平行平面间的距离转化为求点面距

教师补充:若求点到直线的距离,还可以用解析几何方法求解,即确定点的坐标及直线的方程,利用点到直线的距离公式即可得到点到直线的距离.

师:用向量法求点到平面的距离和点到直线的距离的结论,你们能进行证明吗？

生:结合教材理解并给出证明

点到平面的距离证明过程:

如图,设点P是平面外一点,点A是平面内的已知点,是平面的单位法向量

过点P作PP⊥平面,垂足为点P,则线段PP的长度就是点P到平面的距离,而,所以向量在法向量方向上的投影向量的长度就等于线段PP的长度.

点到直线的距离证明过程:

如图,点P是直线l外一点,是直线l的单位方向向量,过点P作直线l的垂线,垂足为点P.在Rt△PPA中,,于是,点P到直线l的距离为

设计意图:让学生类比讨论空间距离的定义与求法,培养学生类比、总结、归纳的能力,根据旧知识探索新知识的能力,培养学生学习的主动性,提高自主学习能力,提升数学学科核心素养.

二、典例剖析,方法总结

例1如图,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-ABCD.

(1)求证:是平面ABD的一个法向量;

(2)求点到平面ABD的距离.

(1)证明依据题意有

A(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,1).

因为=(1,1,1),=(1,0,-1),=(0,1,-1),

所以=(1,1,1)(1,0,-1)=0,

=(1,1,1)(0,1,-1)=0.

从而⊥,⊥.

又AB,AD平面ABD,AB∩AD=A,

所以⊥平面ABD,

即是平面ABD的一个法向量.

(2)解因为(0,1,1),所以点C到平面ABD的距离为

例2在单位正方体ABCD-ABCD中,点M是侧面ABBA的中心.判断直线CM与平面ACD是否平行.若平行请证明你的结论,并求直线CM到平面ACD的距离;若不平行,请说明理由.

解析平面ACD截正方体得一个三角形,如图.点C不在该三角形内,所以CM平面ACD.进一步研究二者的位置关系可以考虑平面ACD的法向量与CM是否垂直.

解以点D为原点,DA,DC,DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如上图).由正方体的棱长为1,得A(1,0,0)C(0,1,0)D(0,0,1),C(0,1,1),.

所以,,.

设n=(x,y,z)是平面ACD的一个法向量,则

取x=1,得y=z=1,故n=(1,1,1).

因为

所以∥平面ACD.

又平面ACD,

所以CM∥平面ACD.

因此,直线CM上任意一点到平面ACD的距离都相等,都等于直线CM到平面ACD的距离.

因为,所以点C到平面ACD的距离为

即直线CM到平面ACD的距离为

例3已知向量=(1,0,0),=(0,2,0),=(4,3,3),对任意的实数a,b,当向量n=的长度最小时,求a,b的值.

分析记向量.由平面向量基本定理可知,对任意的a,b,向量都在,所确定的平面xOy内,反之,平面xOy内的任意向量都可以用来表示.换句话说