专题04 锐角的三角比（考点清单，知识导图+4个考点清单+6种题型解读）解析版-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）.docx

专题04锐角的三角比（考点清单，知识导图+4个考点清单+6种题型解读）

【清单01】锐角的三角比定义

一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.

正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即；

余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即；

正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即；

余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即；

【清单02】锐角的三角比性质

①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小；

②若，则；

③.

【清单03】特殊角的三角比

1

1

【清单04】锐角的三角比

【考点题型一】锐角三角比的意义

【例1】在中，，那么边的长为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可知，将代入即可求得．

【详解】如图所示：在中，，

，

，

故选：C．

【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，明确锐角三角函数的定义求得是解题的关键．

【变式1-1】在中，，，那么等于（??）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．

【详解】解：如图，

??，

在中，，，

，

，

故选：B．

【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是关键．

【变式1-2】.在中，，，，那么下列结论正确的是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，先根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义即可解答；理解三角函数的相关定义是解题的关键．

【详解】解：如图:∵，，

∴，

∴．

故选：A．

【变式1-3】如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据，，的余角相等即可判断A，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，可得，则，即可判断B选项，根据A选项可得，即，即可判断C，根据，可得,，即可判断D选项．

【详解】解：，，

故A选项正确，不符合题意；

CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，

，

故B选项不正确，符合题意；

，即，

故C选项正确，不符合题意；

，即,

又

故D选项正确，不符合题意．

故选B．

【点睛】本题考查了三角形中线，高线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数，找出图中相等的角是解题的关键．

【变式1-4】已知是锐角，化简：．

【答案】1

【分析】本题主要考查了锐角三角函数，化简二次根式，根据锐角的余弦值小于1化简二次根式，然后合并即可得到答案．

【详解】解：，

故答案为：1．

【变式1-5】如图，已知在中，，分别是边上的高，连接，那么和的周长比为．

【答案】/

【分析】根据三角形的高得出，证明，继而证明，根据周长比等比相似比，结合，即可求解．

【详解】∵分别是边上的高，

∴，

∵，

∴，

∴

∴

∵，

∴，

∴与的周长比，

∵，

∴与的周长比，

故答案为：．

【点睛】本题考查了余弦的定义，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

【变式1-5】.若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即顶角，若等腰，，且，则．

【答案】

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．过点A作于，设，，根据等腰三角形的性质及勾股定理得，即可求得答案．

【详解】解：如图，过点A作于，过点作于，

，

设，则，

，，

，

根据勾股定理得，，

．

故答案为：．

【变式1-6】.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB=AD，BD=4，．

（1）求AB的长；

（2）求点C到直线AB的距离．

【答案】(1)；(2)

【分析】(1)过点A作AH⊥BD，垂足为点H．根据等腰三角形的性质求出DH,再根据,求出AH,利用勾股定理即可求出AB；

(2)过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G，根据即可求出答案．

【详解】解：（1）∵过点A作AH⊥BD，垂足为点H．

∵AB=AD，

∴BH=HD=BD=2．????

∵点D是BC的中点，

∴BD=CD．

∵BD=4，

∴CD=4．

∴HC=HD+CD=6．???

∵，∴，∴．???

∵，

∴．

（2）过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G．?????

∵，????

∴．?????

∴．

∴点C到直线AB的距离为

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,勾股定理以及锐角的三角比,熟练掌握锐角的三角比是解题的关键．

【考点题型二】求角的三角比

【例2】（24-25九年级上·上海·期