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《直线与圆》章末复习

知识网络建构

答案

称为经过不同两点的直线l的斜率

垂直于坐标轴

垂直于坐标轴或过原点

(A,B不同时为0)

任意一条

(A,B不全为0)

(A,B不全为0,且)

相离

相切

相交

核心素养梳理

本章内容所涉及的核心素养有:数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模.其中倾斜角与斜率、直线与圆的方程的概念的得来均体现了数学抽象核心素养;两条直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等均体现了逻辑推理与直观想象核心素养;直线斜率公式、直线方程公式、距离公式等的应用均体现了数学运算核心素养;直线与圆的方程的应用体现了逻辑推理、数学建模核心素养.

下面两道例题体现了直观想象、数学运算与逻辑推理核心素养.

例1已知直线l:mx+y+3m-=0与圆交于A,B两点,过点A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=,则|CD|=______.

解析因为|AB|=,且圆的半径为,

所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-=0的距离为,

所以,

所以,

所以直线,

所以直线l的倾斜角为30°.

如图,过C作CE∥AB交BD于点E,则∠CED=90°,∠DCE=30°,,

所以.

答案4

例2如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以点M为圆心的圆及其上一点A(2,4).

(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程;

(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.

解析(1)用待定系数法求解,设出圆N的方程,根据两圆外切列出方程求出待定系数.(2)根据BC长度的两种表示方法列方程求解.(3)将已知条件转化为两圆有公共点问题求解.

答案(1)因为圆心N在直线x=6上,

所以设N(6,n).

因为圆N与x轴相切,

所以圆.

又圆N与圆M外切,圆,即圆,

所以,解得n=1,

所以圆N的标准方程为.

(2)由题意得,.

设直线l:y=2x+b,

则圆心M到直线l的距离,

则.

又,所以,

解得b=5或b=-15,

所以直线l的方程为y=2x+5或y=2x-15,即2x-y+5=0或2x-y-15=0.

(3)设,因为A(2,4),T(t,0),,

所以

因为点Q在圆M上,

所以.②

将①代入②,得,

所以点既在圆M上,又在圆上,

从而圆与圆有公共点,

所以.

解得,

所以实数t的取值范围是.

下面这道例题体现了直观想象、数学建模、数学运算与逻辑推理核心素养.

例3如图,一个湖的边界是圆心为E的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆E的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点E的距离均不小于圆E的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得|AB|=10,|AC|=6,|BD|=12(单位:百米)

(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;

(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;

(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.

解析以点C为坐标原点,公路l所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.(1)根据PB⊥AB,列出关于斜率的方程求出点P的坐标,进而求PB的长.(2)由QA⊥AB求出点Q的坐标,观察其所在范围得出结论.(3)设P(a,0),Q(b,0),由两点间的距离公式分别用含a,b的式子表示出d,考虑当d最小时a,b的值,进而得出P,Q两点间的距离.

答案设BD与圆E交于点M,

连接AM,由AB为圆E的直径,可得AM⊥BM,

则有|DM|=|AC|=6,|BM|=6,|AM|=8.

如图,以点C为坐标原点,公路l所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则A(0,-6),B(-8,-12),D(-8,0).

(1)设点,因为PB⊥AB,

所以,

即,

解得,所以P(-17,0),

所以.

故若道路PB与桥AB垂直,道路PB的长度为15百米.

(2)当QA⊥AB时,QA上的所有点到圆心E的距离不小于圆的半径,设此时,

则,即,

解得,即Q.

因为,在此范围内,不能满足PB,QA上所有点到点E的距离不小于圆的半径,

所以P,Q中不能有一个点选在点D处.

(3)设P(a,0),Q(b,0),

由(1)(2)可得a≤-17,b≥.

由两点间的距离公式可得,当且仅当a=-17时,d=|PB|取得最小值15.

又,则,当d最小时,a=-17,,.

故当d最小时,P,Q两点间的距离为百米.