现代数字信号第五章和第六章习题答案.docVIP

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习题五

证明白噪声的周期图功率谱估计是无偏的。

证明：

得证。

2.求一稳定系统，使其在单位谱密度白噪声激励下的输出自相关函数为

解：由题目知：

利用AR模型的尤拉-沃克方程：

将自相关值代入：

可以求出来：

再求出：

所以系统为：

此时

极点为：在单位圆内，即系统是稳定的。

求功率谱密度为的白化滤波器。

解：设输出信号功率谱为的ARMA模型为

因为，已知：

所以，白化滤波器为：

它的输出为方差为1的白噪声。

4．题目：题目：设有零均值实平稳过程x(t)的N个观测值{x(0),x(1),…x(N-1)}，试证明周期图函数

其中

解答：

已知

（式4.1）

（式4.2）

因为{x(n)}为实序列，所以由式4.1可得

当m0时

其中k=m+n

当m0时

其中l=-m

故

结合式4.2，利用褶积定理可得

5设有零均值平稳序列，将其分为K段，每段有点数据，各段的周期图为。平均周期图为。试证明：如果当时很小，因而各周期图可认为是彼此独立的，则。其中，这一结果说明了什么？

证明：

其中

说明功率谱估计的均值是真实功率谱与三角窗的卷积。

对于确定信号，也可以使用线性预测，N阶线性预测定义为，预测误差能量为。试证明：若，则最小二乘估计满足尤利--沃克方程，但其中，且。

证明：为N阶前向线性预测。

已知预测误差为

预测均方误差为

时，对{}的最小二乘估计有

即

又

与AR模型尤利--沃克方程类似

得证最小二乘估计{}满足尤利--沃克方程类似。

试证明后向预测滤波误差的正交性。

证明：当k=1,2,……p时，误差：

则：要使均方误差最小，则令

即k=1,2,……p时，与观测数据正交。

当k=0时，

故k=0,1,2,……p时，均与观测数据正交。

设N=5的数据记录为，AR模型的阶数p=3，试用莱文森递推法求AR模型参量及的预测值。

解：

利用已知数据求得：

一阶时：

二阶时：

三阶时：

故AR模型得参数为：

因为

故

利用题9所给N=5的数据记录，试用伯格算法求参数。

解：（1）

前、后向预测误差分别为

（2）

（3）

（4）

模型为：

推出随机初相（在0至区间上均匀分布）的复（实）正弦加白噪声的自相关序列值公式。

解：当信号为复正弦加白噪声时，设

其中是在中均匀分布的随机变量，为白噪声均值0，方差。

当信号是实正弦加白噪声时，设

设上题中共有M复正弦加白噪声。请写出它的（p+1）阶自相关矩阵。并证明该自相关阵可以分解为如下形式：

解：上题中M个随机初相在[0，2]内均匀分布的复正弦加白噪声，

设

令

则

式中，是的共轭转置，I为（p+1）阶单位矩阵，为白噪声方差。

设邻均值单位方差随机过程的自相关，求出阶数为1，2，3的线性预测器增益。

解：

一阶时：

故一阶线性预测器为：

二阶时：

故二阶线性预测器为：

三阶时：

故三阶线性预测器为：

已知滑动平均（MA）过程，其中为零均值单位方差白噪声，求出其10阶线性预测的增益。

解：由kolmogorov定理：MA序列可由AR（）序列来表示。

题目中MA（T）传递函数为

AR（）传递函数为

令，

即

模型为

P阶AR模型与p阶线形预测器等价，取p=10，则10阶线形预测为

其增益：

习题6

设噪声中存在L个具有随机相位的复正弦信号如下：

式中，L为均匀分布的随机相位，它们是互相独立的；为零均值与方差的白噪声，且与互相独立。

eq\o\ac(○,1)证明；

eq\o\ac(○,2)证明的自相关