人教B版高中数学选择性必修第三册课后习题 第六章 导数及其应用 6.1.4 第1课时 函数的和、差、积、商的求导法则.docVIP

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6.1.4求导法则及其应用

第1课时函数的和、差、积、商的求导法则

课后训练巩固提升

A组

1.曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为()

A.x+3y-3=0 B.3x-y+1=0

C.3x+y-1=0 D.x-3y+3=0

解析:∵y=ex+xex+2,∴切线斜率k=3.

∴切线方程为y-1=3x,即3x-y+1=0.

故选B.

答案:B

2.已知f(x)=x(4018+lnx),若f(x0)=4019,则x0等于()

A.e2 B.1 C.ln2 D.e

解析:∵f(x)=4018+lnx+x·1x

∴f(x0)=4019+lnx0=4019,解得x0=1.

故选B.

答案:B

3.曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为()

A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0

C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0

解析:∵y=2cosx-sinx,

∴所求切线斜率k=2cosπ-sinπ=-2.

∴所求切线方程为y-(-1)=-2(x-π),即2x+y-2π+1=0.故选C.

答案:C

4.函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为()

A.y=-2x-1 B.y=-2x+1

C.y=2x-3 D.y=2x+1

解析:对函数f(x)求导可得f(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f(1)=-2.

又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.

答案:B

5.已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()

A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1

C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1

解析:∵y=aex+lnx+1,

∴k=ae+1=2,∴ae=1,a=e-1.

将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,∴b=-1.

答案:D

6.已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处的切线的斜率为8,则a=.?

解析:∵y=4x3+2ax,

∴-4-2a=8,解得a=-6.

答案:-6

7.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.?

解析:由题意可知y=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,k=3.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为3x-y=0.

答案:3x-y=0

8.已知函数f(x)=fπ4cosx+sinx,则fπ4的值为

解析:∵f(x)=-fπ4

∴fπ4=-fπ

∴fπ4=2-1.∴

∴fπ4

答案:1

9.求下列函数的导数:

(1)y=x2+log3x;

(2)y=x3ex;

(3)y=cosxx

(4)y=x-sinx2cosx

解:(1)y=2x+1xln3

(2)y=3x2ex+x3ex.

(3)y=-xsinx

(4)∵y=x-sinx2cosx2=x-

∴y=1-12

10.已知曲线C:y=x2-2x+3,直线l:x-y-4=0,在曲线C上求一点P,使点P到直线l的距离最短,并求出最短距离.

解:设P(x0,y0),y=f(x)=x2-2x+3,

则f(x)=2x-2.

由题意可知f(x0)=2x0-2=1,解得x0=32

∴y0=94.∴P3

∴点P到直线l的最短距离d=32

B组

1.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在点(3,1)处的切线,令g(x)=xf(x),g(x)是g(x)的导函数,则g(3)=()

A.-1 B.0 C.2 D.4

解析:由题图可知曲线y=f(x)在点(3,1)处的切线的斜率为2-10-3=-1

因为g(x)=xf(x),

所以g(x)=f(x)+xf(x),

所以g(3)=f(3)+3f(3).

又由题图可知f(3)=1,

所以g(3)=1+3×-1

答案:B

2.某市在一次降雨过程中,降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=10t,t∈[0,80],则在时刻t=40min的降雨强度为()

A.20mm B.400mm

C.12mm/min D.1

解析:∵f(t)=510t,∴f(40)=5

答案:D

3.已知f1(x)=sinx-cosx,fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f1(x),f3(x)=f2(x),…,fn+1(x)=fn(x),n∈N+,则f4020(x)=()

A.sinx-cosx B.cosx-sinx

C.sinx+cos