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《二项分布》教学设计二

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

课前游戏

在学习本节课内容之前,我们先来玩一个抽奖游戏吧!游戏规则如下:我手里的袋子中有除颜色外完全相同的3个白球,2个黄球,现一次性从中摸出3个球,看其中黄球的个数,若其中恰有一个黄球为三等奖,恰有两个黄球为二等奖,若没有黄球则为一等奖,来试试你的手气吧!

学生上前来摸球,摸出球对应的奖项有相应奖品.

学生对这种摸球游戏非常感兴趣,上课前的紧张状态一扫而光.让学生轻松地开始学习新知识.

问题引入

问题1:

请问获奖的同学,你能否运用所学的概率知识来求一下你获得这个奖的概率是多少?如果摸出三个球中黄球的个数为随机变量,那么它的分布列有什么特点?

问题2:

还是这个袋子中的这几个球,如果依次从中有放回地摸出3个球,其中恰有一个黄球的概率是多少?如何计算?

请获奖的同学回答问题,其他同学也进行思考.

对于问题2,学生应该是没办法直接给出解答的,因此教师要给学生预留充足的时间讨论,然后引导学生形成n重伯努利试验的概念,再进行解答.

学生进行小组交流,形成对n重伯努利试验概念的理解后顺利解决问题2.

在轻松的游戏过后,通过问题让学生的思维回到课堂中来.引导学生先运用前面所学知识解决问题1,进行简单的知识回顾,接着提出问题2,将学生引入到对未知问题的探究中来,不自觉地开始本节课的思考.

概念形成

n重伯努利试验的定义:

一般地,在相同条件下重复做n次伯努利试验,且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响,称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验.

问题的解决并不是由教师手把手教出来的,而是学生面对困惑独立探究进而接近问题本质的过程,一定不能由教师全权代劳,所以,问题抛出后,给足学生讨论时间,让学生在互相交流中感受知识的形成.

生活实例

问题3:

生活中有很多类似的独立重复试验,你能否举几个例子?

学生思考后发言.

启发学生观察生活细节,体会知识来源于生活,感受所学知识的有趣及有用之处.

深化探究

回到刚才的问题2,如果第一次摸出的是黄球,后两次摸出的都是白球,概率应是

还有第二次或第三次摸出的是黄球的两种情况,概率计算方法同上.

我们可以看到这三种情况的概率都是一样的,都是所以可以合起来是

另外,3可以写成,因为三种情况的产生实际上就是三个位置选出一个放黄球,

因此所求概率为

那么三个球中恰有两个黄球的概率也能类比给出,继续思考如下问题:

问题4:

若随机变量X表示黄球个数,你能否列出X的分布列?

学生交流后发言,在这个过程中体会思路的形成及问题解决的过程.

这个问题的解决是本节课难点的突破点,因此,这里的处理做得很细,每一步的概率如何求解以及为什么这样求都要让学生准确理解,这样,接下来的问题便能迎刃而解了.

模型建构

问题5:

问题推广:如果有放回地依次摸出n个球,其中黄球数X的分布列如何求?

为了让学生有思路可循,可提出如下思考帮助学生解决问题.

思考1:摸出的n个球中黄球数X的所有可能取值有哪些?

思考2:每一次摸出黄球的概率是多少?

思考3:摸出的n个球中有1个黄球的概率是多少?

思考4:摸出的n个球中有k个黄球的概率是多少?

解决以上几个问题后,学生能顺利写出X的分布列,并从中发现概率与二项展开式的关系,进而提出二项分布的定义.

一般地,在n重伯努利试验中,用X表示这n次试验中成功的次数,且每次成功的概率均为p,则X的分布列可以表示为

若一个随机变量X的分布列如上所述,则称X服从参数为n,p的二项分布,简记为X~B(n,p).

学生思考几个小问题,进而从中体会每一步设置的意义及知识形成的过程.

问题5的设置是由特殊到一般的数学思想的体现.因为学生由特殊推广到一般的能力不强,所以拆分出几个小的思考题帮助学生进行探究,在这样的设置下,相信学生不仅能顺利解决问题,并且还能从中感受到问题解决的方法与途径,体会其中渗透的数学思想,提高学习能力.

数学文化

学生也许会疑惑为什么二项分布用字母B来表示,在这里对数学家雅各布·伯努利进行简单介绍.

雅各布·伯努利对数学的最突出贡献之一是在概率论研究方面,他一生最有创造力的著作就是1713年出版的《猜度术》.

伯努利家族是一个数学家辈出的家族.除了雅各布·伯努利外,在17—18世纪期间,伯努利家族共产生过11位数学家.

出示伯努利的照片及生平简介,为学生简单介绍.

通过简单介绍雅各布·伯努利对概率论的巨大贡献,让学生体会到知识来之不易,体会数学家的伟大,渗透数学文化.

例题分析

例1某公司安装了3台报警器,它们彼此独立工作,且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9.求发生险情时,下列事件的概率:

(1)3台都没报警;

(2)恰有1台报警;

(3)恰有