《概率论与数理统计》 教案 第7章 参数估计.docx

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课题

参数估计

课时

6课时（270min）

教学目标

知识技能目标：

（1）理解点估计的定义。

（2）掌握矩估计法和最大似然估计法。

（3）掌握估计量的评价标准（无偏性、有效性、一致性），能够在实际问题中合理选择评价标准。

（4）理解区间估计与置信区间的定义。

（5）掌握正态总体均值和方差的区间估计的方法。

素质目标：

培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力。

教学重难点

教学重点：矩估计法、最大似然估计法、无偏性、有效性、一致性、区间估计与置信区间和正态总体参数的区间估计

教学难点：计算正态总体均值和方差的区间估计

教学方法

问答法、讲授法、练习法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

问题导入

【教师】提出问题：

你知道什么是点估计和区间估计吗？

【学生】聆听、思考、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解矩估计法、最大似然估计法、估计量的评选标准、区间估计与置信区间、正态总体参数的区间估计的相关知识

7.1点估计

设总体的分布已知，但它的一个或多个参数未知，借助总体的一个样本来估计总体未知参数值的问题就是参数的点估计问题．下面，我们先来举一个例子．

【教师】利用多媒体展示“样本值”表格，并讲解例题

在某炸药制造厂，一天中发生着火现象的次数是一个随机变量，假设它服从参数为的泊松分布，参数未知．现有表格的样本值，试估计参数.

着火次数

0

1

2

3

4

5

6

发生次着火的天数

75

90

54

22

6

2

1

解由于，因此，我们很自然地想到用样本均值来估计总体均值．由已知数据计算得

，

因此，参数的估计为1.22．

【学生】聆听、理解、记忆

定义7.1设总体的分布函数为，是待估参数，是的一个样本，是相应的样本值．点估计问题就是构造一个适当的统计量，用它的观察值作为未知参数的近似值．我们称为的估计量，称为的估计值．在不致混淆的情况下统称估计量和估计值为估计，并简记为．

在上述例子中，我们用样本均值来估计总体均值，即估计量为

()，

估计值为

．

下面介绍两种常用的点估计法：矩估计法和最大似然估计法．

7.1.1矩估计法

1．矩估计法的思想

矩估计法是由英国统计学家\o皮尔逊皮尔逊于1894年提出的．它通常用样本矩作为总体矩的估计量，用样本矩的函数替换总体矩的函数．这就是矩估计法最基本的思想．

2．矩估计法的一般步骤

设总体的分布函数为，其中均未知．矩估计法的一般步骤可归纳如下．

（1）求出总体的阶矩：

．

（2）用样本矩估计总体矩，即令总体阶矩等于样本阶矩，于是有

上述方程组的解为我们称为参数的矩估计量，为参数的矩估计值．用矩估计法确定的估计量称为矩估计量，相应的估计值称为矩估计值．矩估计量与矩估计值统称为矩估计．

【教师】提出问题：

设总体服从二项分布，其中已知，为来自的样本，求参数的矩估计量．

【学生】聆听、思考、举手回答

【教师】总结学生的回答

因为题设中只有一个待估参数，所以只需求出总体的一阶矩和样本的一阶矩即可，于是有

用样本矩估计总体矩，即令总体矩等于样本矩，于是有

，

因此的矩估计量为

．

【教师】讲解例题

设总体的概率密度为

其中未知，样本为，求参数的矩估计量．

解因为题设中只有一个待估参数，所以只需求出总体的一阶矩和样本的一阶矩即可，于是有

用样本矩估计总体矩，即令总体矩等于样本矩，于是有

，

因此的矩估计量为

．

【学生】聆听、理解、记忆

【教师】讲解例题

设总体的均值和方差都存在但未知，且，是来自的样本．试求的矩估计量．

解因为题设中有两个待估参数，所以只需求出总体的二阶总体矩和二阶样本矩即可，于是有

用样本矩估计总体矩，即令总体矩等于样本矩，于是有

，，

列出方程组，即

因此的矩估计量分别为

．

【学生】聆听、理解、记忆

【教师】讲解例题

设总体在区间上服从均匀分布，且未知，求的矩估计量．

解因为题设中有两个待估参数，所以只需求出总体的二阶矩和样本的二阶矩即可，于是有

用样本矩估计总体矩，即令总体矩等于样本矩，于是有

，，

列出方程组，即

从而

于是的矩估计量分别为

，．

【学生】聆听、理解、记忆

【教师】提出问题：

试总结矩估计法的优缺点．

【学生】聆听、思考、举手回答

【教师】总结学生的回答

矩估计法的优点是计算简单，且进行矩估计时无须知道总体分布，只要知道总体矩即可；缺点是矩估计量结果不唯一．原则上，矩估计法既可以用样本的低阶矩估计总体的低阶矩，也可以用样本的高阶矩估计总体的高阶矩．

7.1.2最大似然估计法

1．最大似然估计法的思想

最大似