精品解析：山东省聊城一中2023-2024学年下学期期中考试高一数学试题（原卷版）.docxVIP

2023-2024学年第二学期期中考试

高一数学试题

时间：120分钟分值：150分

第Ⅰ卷（58分）

一、单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中；只有一个选项符合题目要求．

1.若复数是纯虚数，则z的共轭复数（）

A.－1 B.－i C.i D.1

2.如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点，则（）

A. B.

C. D.

3.如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（）

A. B. C. D.

4.已知是两个不共线的向量，．若与是共线向量，实数的值为（）

A. B. C. D.

5.在等腰中，，AD平分且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（）

A. B. C. D.

6.下列命题正确是（）

A.若、两条直线，、是两个平面，且，则、是异面直线

B.四边形可以确定一个平面

C.已知两条相交直线、，且平面，则与的位置关系是相交

D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

7.已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是

（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）

A.重心外心垂心 B.重心外心内心

C.外心重心垂心 D.外心重心内心

8.如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，求的余弦值．（）

A. B. C. D.

二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（）

A.b＝7，c＝3，C＝30° B.b＝5，c＝4，B＝45°

C.a＝6，b＝3，B＝60° D.a＝20，b＝30，A＝30°

10.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面四个命题中正确的是（）

A.没有水的部分始终呈棱柱形 B.水面EFGH所在四边形的面积为定值

C.棱始终与水面所在平面平行 D.当容器倾斜如图所示时，是定值

11.《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（）

A.的周长为 B.三个内角，，满足

C.外接圆直径为 D.的中线的长为

三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知点O0,0，向量，点是线段的三等分点，求点的坐标________．

13.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有_____对．

14.如下图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点M，N．设，则________．

四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积．

16.在复平面内，点A，B对应的复数分别是，（其中是虚数单位），设向量对应的复数为.

（1）求复数；

（2）求；

（3）若，且是纯虚数，求实数的值.

17.如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：

（1）轮船D与观测点B的距离；

（2）救援船到达D点所需要的时间．

18.在等腰梯形ABCD中，，，，，，动点E，F分别在线段BC和DC上（不包含端点），AE和BD交于点M，且，．

（1）用向量，表示向量，；

（2）求的取值范围；

（3）是否存在点E，使得．若存在，求λ；若不存在，说明理由．

19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的