人教B版数学选择性必修第一册课后习题 第一章 空间向量与立体几何 分层作业7 直线与平面的夹角.docVIP

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分层作业7直线与平面的夹角

A级必备知识基础练

1.[探究点二]设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若a,n=2π3

A.2π3 B.π

C.π6 D.

2.[探究点二]直线l的方向向量s=(1,1,2),平面α的法向量n=(1,-3,0),则直线l与平面α的夹角的余弦值为()

A.-1515 B.15

C.-21015 D.

3.[探究点二]在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE的夹角为()

A.π6 B.

C.π2 D.

4.[探究点二·河北高二期中]正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形,E,F分别是AB,BC的中点,则PB与平面PEF的夹角的正弦值为()

A.36 B.66 C.3

5.[探究点二](多选题)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=3AB,则()

A.AC1与底面ABC的夹角的正弦值为1

B.AC1与底面ABC的夹角的正弦值为3

C.AC1与侧面AA1B1B的夹角的正弦值为3

D.AC1与侧面AA1B1B的夹角的正弦值为13

6.[探究点二]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1的夹角的正弦值为.?

7.[探究点二]正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为.?

B级关键能力提升练

8.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1的夹角的大小为()

A.60° B.90°

C.45° D.以上都不对

9.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1B1的中点,点N在该正方体的棱上运动,则下列说法正确的是()

A.当N为棱AA1的中点时,MN∥B1D

B.当N为棱AA1的中点时,MN与平面ABC1D1的夹角为π

C.有且仅有三个点N,使得BN∥平面AMD1

D.有且仅有四个点N,使得MN与B1C所成角为π

10.[辽宁辽河高二阶段练习](多选题)如图,设E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上两点,且AB=2,EF=1,其中正确的说法为()

A.三棱锥D1-B1EF的体积为定值

B.异面直线D1B1与EF所成的角为60°

C.D1B1⊥平面B1EF

D.直线D1B1与平面B1EF的夹角为30°

11.如图,圆锥的高PO=2,底面☉O的直径AB=2,C是圆上一点,且∠CAB=30°,D为AC的中点,则直线OC和平面PAC的夹角的余弦值为.?

分层作业7直线与平面的夹角

1.C线面角的范围是[0,π2]

∵a,n=2π3,∴l与α的法向量所在直线所成角为π

∴l与α的夹角为π6

2.D设直线l与平面α的夹角为θ0≤θ≤π2,则sinθ=|coss,n|=1×1+1×(-3)

∴直线l与平面α的夹角的余弦值为21015

3.B以D为原点建立空间直角坐标系,如图,则DB=(1,1,0),DE=(0,1,12)

设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),∴DB·n=0,DE·n=0,

可得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),而BA1=(0,-1,1),∴cosBA

∴BA

∴直线A1B与平面BDE的夹角为60°.

4.C以点P为原点,PA为x轴,PB为y轴,PC为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.

设PA=PB=PC=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),E(1,1,0),F(0,1,1),则PB=(0,2,0),PE=(1,1,0),PF=(0,1,1).

设平面PEF的法向量n=(x,y,z),

则n·

设PB与平面PEF的夹角为θ,则sinθ=|PB

故选C.

5.BC如图,取A1C1中点E,AC中点F,并连接EF,则EB1,EC1,EF三条直线两两垂直,则分别以这三条直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

设AB=2,则AA1=23,

∴A1(0,-1,0),C1(0,1,0),A(0,-1,23),C(0,1,23),B1(3,0,0),∴AC1=(0,2,-23).底面ABC的一个法向量为m=(0,0,2

∴AC1与底面ABC的夹角的正弦值为|cosm,AC1|=

∵A1B1的中点K的坐标为(32,-12,0

∴侧面AA1B1B的一个法向量为KC1=(-32

∴AC1与侧面AA1B1B的夹角的正弦值为|cosAC1,

故选BC.

6.33

则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的一个法向量为DB1=(1,1,1).又

则|cosDB1,

所以BB1与平面ACD1的夹