山东省青岛第五十八中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题.docx

2022级高三调研测试4（期中）

数学试题2024.10

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则

A．{1，2，3}B．{0，1，2}C．{1，2，5}D．{0，1，2，5}

2．已知，则|z|＝

A．2B．1C．D．

3．已知，．若，则

A．B．C．D．

4．已知等比数列的前n项和为，且，则“”是“的公比为2”的

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

5．已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为

A．B．C．D．

6．已知函数则f（x）图象上关于原点对称的点有

A．1对B．2对C．3对D．4对

7．已知函数，函数f（x）的图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．若方程在上有两个不同的解，，则的值为

A．B．C．D．π

8．若关于x不等式恒成立，则当时，的最小值为

A．B．C．eD．1

二．多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）

9．已知，则下列结论正确的是

A．B．C．D．

10．若数列满足，，（，），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是

A．B．（，）

C．D．

11．如图，在边长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是

A．若，则点P的轨迹长度为

B．若，则点P的轨迹长度为2π

C．若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为

D．若P是棱的中点，则三棱锥P-CEF的外接球的表面积是41π

第Ⅱ卷

三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12．曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是________．

13．为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度OP＝________米．

14．已知，当，时，是线段的中点，点P在所有的线段上，若，则λ的最小值是________．

四．解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本题满分13分）已知数列的前n项和为，且．

（1）求及数列的通项公式；

（2）在与之间插入n个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前n项和．

16．（本题满分15分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有，

（1）求角B；

（2）若AC边上的高，求cosAcosC

17．（本题满分15分）如图1，在平行四边形ABCD中，，，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，连结BD，CD，且，如图2．

（1）求证：图2中的；

（2）在图2中，若点F在棱BD上，直线AF与平面ABCE所成的角的正弦值为，求点F到平面DEC的距离．

18．（本题满分17分）已知函数，且与x轴相切于坐标原点．

（1）求实数a的值及f（x）的最大值；

（2）证明：当时，；

（3）判断关于x的方程实数根的个数，并证明．

19．（本题满分17分）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为．若，则称正整数n为“理想数”．

（1）求20以内的质数“理想数”；

（2）已知．求m的值；

（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：．

2022级高三调研测试4（期中）数学参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

答案

B

C

B

A

B

C

A

D

ABD

AC

ACD

12．．13．14．

15．【详解】（1）解：由题意，当时，，解得，

当时，，

即，解得，

当时，由，

可得，

两式相减，可得，

整理，得，

∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

∴，．

（2）由（1）可得，，，

在与之间插入n个数，使得这个数依次组成公差为d的等差数列，

则有，