2025年高考数学一轮复习练习题含答案解析 指对同构、对数与指数均值不等式.pdfVIP

2025年高考数学一轮复习练习题含答案解析

指对同构、对数与指数均值不等式

1．指对同构

在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数或证明不等式，部分试题是命题者利

用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的是

同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度．找到这个函数模型的方法，我们称为

同构法，其实质还是指数、对数恒等式的变换．

(1)五个常见变形：

xx

＋e－x－e

xxlnxxlnxlnxxx

xe＝e，＝e，＝e，x＋lnx＝ln(xe)，x－lnx＝ln.

x

xex

(2)三种基本模式

a三种同构方式

aeblnb――→

①积型：≤

alnb构造x

同左：ae≤(lnb)e――→f（x）＝xe，

aa构造

同右：elne≤blnb――→f（x）＝xlnx，

构造

取对：a＋lna≤lnb＋ln（lnb）――→f（x）＝x＋lnx.

eab三种同构方式

②商型：＜――→

alnb

alnb构造x

eee

同左：＜――→f（x）＝，

alnbx

eab构造x

fx

同右：＜――→（）＝，

a

lnelnblnx

构造

取对：a－lna＜lnb－ln（lnb）――→f（x）＝x－lnx.

a两种同构方式

e±ab±lnb――→

③和差型：＞

alnb构造x

同左：e±a＞e±lnb――→f（x）＝e±x，

构造

aa

e±lneb±lnbfxx±lnx.

同右：＞――→（）＝

2．对数与指数均值不等式

a－bab

＋

结论1对任意的a，b＞0(a≠b)，有ab＜＜.

lna－lnb2

证明不妨设a＞b＞0(0＜a＜b时同理可得)

a

－1

aba－b

－ab