精品解析：山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版）.docxVIP

2023—2024学年度第二学期期中学业水平检测

高一数学试题

2024．04

本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，请将答题卡上交．

一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，则对应的复数为（）

A. B. C. D.

2.若是不共线的向量，且，，，则（）

A.三点共线 B.三点共线

C.三点共线 D.三点共线

3.（）

A B. C. D.

4.已知非零向量，，则在方向上的投影向量长度为（）

A B. C. D.

5.已知，是第二象限的角，则（）

A B. C. D.

6.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（）

A. B. C. D.

7.如图，矩形是水平放置四边形的直观图，若，，则原四边形的周长是（）

A.

B.

C.

D.

8.在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本大题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分．

9.下列有关平行六面体的命题正确的是（）

A.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形

B.平行六面体的八个顶点在同一球面上

C.平行六面体的四个侧面不可能都是矩形

D.平行六面体任何两个相对的面都可以作为它的底面

10.如图，，，线段，相交于点，则（）

A.

B.

C.

D.

11.相交弦定理是平面几何中关于圆的一个重要定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，已知圆的半径为，弦，相交于点．且，则（）

A.

B.

C.当时，为定值

D.当时，四边形的面积最大值为

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知函数，函数的图象关于点对称，且函数图象上相邻最高点和最低点的距离为，则_____________．

13.已知正三角形与正方形中心为同一点，的边长为，则______________．

14.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．已知点为的费马点，角所对的边分别为，若，，边上的中线长为，则的值为_________．

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知复数．

（1）求；

（2）若复数是关于的实系数方程的一个根，求的值．

16.在等腰梯形中，，，，．

（1）若与垂直，求的值；

（2）若为边上动点(不包括端点），求的最小值．

17.在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答．

问题：在中，角所对的边分别为，已知_________．

（1）求；

（2）若，且，求的周长．

注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分．

18.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．

（1）记向量的相伴函数为，若，且，求的值；

（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相同的单位向量；

（3）已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

19.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．

（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；

（2）证明：；

（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到）．

（参考数据：）