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《离散型随机变量的分布列》教学设计

一、复习引入

1.回顾

随机变量的概念:在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下,数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量.随机变量常用字母X,Y,等来表示.

2.做一做:用随机变量表示下列试验,写出它们的所有可能取值:

(1)在含有10件次品的100件产品中,任意抽取4件,其中含有的次品的件数;

(2)某人射击10次,命中目标的次数;

(3)任意选取一个寿命不超过2000小时的电灯泡,它的寿命X.

问题:通过上面的实例,你发现它们有什么区别?

提示:(1)(2)中的随机变量都可以一一列举出来,而(3)中的随机变量无法一一列举.

设计意图:通过复习旧知识,自然过渡到新知的学习,为本节课教学奠定基础.

二、新知探究

1.离散型随机变量的分布列的概念

我们刚才研究的(1)(2)两个例子,随机变量的取值可以一一列举,我们给出一个定义:

取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量.

下面我们以大家最熟知的掷骰子试验来进行分析.

用X表示抛掷一枚均匀的骰子掷出的点数,根据所学我们知道,随机变量X是一个离散型随机变量,其取值有6个,可能取值为1,2,3,4,5,6.

随机变量X取各个不同值的概率都等于多少?

问题:能否用表格的形式来表示呢?(如下表)

X

1

2

3

4

5

6

P

设计意图:通过熟知的掷骰子试验,引导学生用表格形式表示随机变量取不同值时的概率,初步感知离散型随机变量的分布列.

定义:若离散型随机变量X的取值为x1,x2,…,xn,…,随机变量X取xi的概率为pi(i=1,2,…,n,…),记作p(X=xi)=pi(i=1,2,…,n,…).①

①可列成表,如下表

xi

x1

x2

…

xn

…

p(X=xi)

p1

p2

…

pn

…

上表或①式称为离散型随机变量X的分布列,简称X的分布列.

设计意图:抽象出离散型随机变量X的分布列的定义,让学生感受从特殊到一般的数学思维方法,发展学生的数学抽象核心素养.

2.离散型随机变量的分布列的性质

思考:随机变量的分布列有哪些性质?

提示:任何随机事件发生的概率都满足:0≤P(A)≤1,并且不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1.由此可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质:

(1)pi0,i=1,2,…,n,…;

(2)p1+p2+…+pn+…=1.

教师接着总结:

如果随机变量X的分布列为上表或①式,我们称随机变量X服从这一分布列,记作

随机变量X的分布列完全描述了随机现象的规律:了解了随机变量X的分布列,就了解了这个随机变量的所有可能取值及取各个值的概率.

设计意图:对所得结论进行更深一步的探究,激发学生的学习兴趣.

3.两点分布

大家熟知的抛掷一枚均匀硬币的试验只有两个结果,不是正面向上就是反面向上,这种特殊的试验,我们给它取一个名字,叫作伯努利试验.同学们能不能试着给伯努利试验下一个定义?

若在某个试验中,每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功”和“失败”,每次“成功”的概率均为p,每次“失败”的概率均为1-p,则称这样的试验为伯努利试验.

如果随机变量X的分布列如下表:

X

1

0

P

p

q

其中0p1,q=1-p,那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0-1分布或伯努利分布).两点分布不仅是最简单的,也是最重要的概率分布模型,在实际生活中有着广泛的应用.

问题:两点分布有什么特征?

提示:一个所有可能结果只有两种的随机试验,对应的随机变量的取值只有两个值.

设计意图:介绍特殊的分布列,即从对立事件入手可得两点分布.引入两点分布,既复习了分布列知识,也为后续学习奠定基础.

三、典型例题

例1篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球一次得分的分布列.

解用随机变量X表示每次罚球所得的分值.根据题意,X的可能取值为1,0,且取这两个值的概率分别为0.7,0.3,因此所求的分布列如下表:

X

1

0

P

0.7

0.3

【师生活动】教师出示例1,待学生思考片刻后,以提问的方式请学生回答.

学生思考、回答.

设计意图:通过例题让学生熟悉求解离散型随机变量分布列的步骤,增强学生学习数学的信心.

例2连续抛掷一枚均匀的骰子两次,用X表示掷出的点数之和,试求X的分布列.

解我们用(i,j)表示抛掷的结果,其中i表示第一次掷出的点数,j表示第二次掷出的点数.例如,(3,4)表示第一次掷出的点数为3,第二次掷出的点数为4.于是,连续抛掷一枚均匀的骰子两次,共有36种结果,结果如表所