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《随机变量》同步学案

问题情境导入

某人射击一次,可能出现命中0环,命中1环,…,命中10环等结果,即可能出现的结果可以由0,1,…,10这11个数表示.

某次产品检验,在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件,那么其中含有的次品可能是0件、1件、2件、3件、4件,即可能出现的结果可以由0,1,2,3,4这5个数表示.

在这些随机试验中,可能出现的结果都可以用一个数来表示.这个数在随机试验前是否是预先确定的?在不同的随机试验中,结果是否不变?

观察上述例子,概括出它们的共同特点.

新课自主学习

自学导引

在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下,数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着______的变化而______的量称为随机变量.随机变量常用字母X,Y,等来表示.

答案

试验结果变化

预习测评

1.给出下列四个命题:

①15秒内,通过某十字路口的汽车的数量是随机变量;

②在一段时间内,某候车室内候车的旅客人数是随机变量;

③一条河流每年的最大流量是随机变量;

④一个剧场共有三个出口,散场后某一出口退场的人数是随机变量.

其中正确的个数是()

A.1

B.2

C.3

D.4

2.某人进行射击,共有5发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为,则{=5}表示的随机事件是()

A第5次击中目标

B.第5次未击中目标

C.前4次均未击中目标

D.第4次击中目标

3.在100件产品中含有4件次品,从中任意抽取2件,表示其中次品的件数,则{=0}表示的随机事件是______.

答案

1.

答案:D

解析:由随机变量的定义可以直接判断①②③④都是正确的.

2.

答案:C

解析:{=5}表示前4次均未击中,而第5次可能击中,也可能未击中,故选C.

3.

答案:取出的2件产品都是正品

解析:根据随机变量的定义可得答案.

新知合作探究

探究点1随机变量的概念

知识详解

在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下,数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量.随机变量常用字母X,Y,等来表示.

特别提示

1.随机变量的辨析方法

(1)随机试验的结果具有可变性,即每次试验对应的结果不尽相同.

(2)随机试验的结果具有确定性,即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点,则该变量即为随机变量.

2.所谓随机变量,即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系,这种对应关系是人为建立起来的,但又是客观存在的.

例如,任意掷一枚均匀的硬币,可能出现正面向上、反面向上这两种结果,虽然这个随机试验的结果不具有数量性质,但仍可以用数量来表示它,比如,我们用来表示这个随机试验中出现正面向上的次数,则{=0}表示“试验结果为反面向上”,{=1}表示“试验结果为正面向上”.

3.随机变量实质是将随机试验的结果数量化.

典例探究

例1判断下列各个量,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由:

(1)某一日北京国际机场候机厅中的旅客数量;

(2)某段时间内所查酒驾的人数;

(3)体积为1000cm3的球的半径.

解析利用随机变量的定义进行判断

答案(1)旅客人数可能是0,1,2,…,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量,

(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2,…,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量.

(3)球的体积为1000cm3时,球的半径为定值,不是随机变量.

变式训练1(1)下列各量中,不是随机变量的是()

A.一射击手射击一次命中的环数

B标准状态下,水沸腾时的温度

C.抛掷两枚均匀的骰子,所得点数之和

D.某电话总机在时间区间(0,T)内收到的呼叫次数

(2)10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是()

A.取到产品的件数

B取到正品的概率

C.取到次品的件数

D.取到次品的概率

答案(1)B(2)C

解析(1)B项中,水沸腾时的温度是一个确定值.

(2)A中,取到产品的件数是一个常量不是变量,B,D中的概率也是定值,而C中取到次品的件数可能是0,1,2,是随机变量.

探究点2随机变量的可能取值及试验结果

知识详解

用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点如下.

(1)关键点:解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值,以及取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果.

(2)注意点:解答过程中不要漏掉某些试验结果.

典例探究

例2写