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高中数学精编资源
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《二项式系数的性质》同步学案
问题情境导入
我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列,如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中,用如图所示的三角形解释(a+b)n的展开式的各项系数.
问题:观察上表,你能借助二项式系数的性质分析上表中的数吗？
新课自主学习
自学导引
1.当n依次取1,2,3,…时,(a+b)n展开式的二项式系数如图.
上图中的表叫作二项式系数表,历史上也称为______.
它有如下的规律:
表中每行两端都是______,而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之______.事实上,设表中任意一个不为“1”的数为,那么它“肩上”的两个数分别为和,由组合数的性质2得到:______
2.______
答案
1.
答案:杨辉三角1和
2.
答案:2n
预习测评
1.的展开式中的各项系数和是()
A.1
B.-1
C.215
D.315
2.在的展开式中与第3项的二项式系数相同的项是()
A.第8项
B.第7项
C.第9项
D.第10项
3.观察图中的数所成的规律,则a所表示的数是______.
4.根据杨辉三角,写出的二项式系数:______.
答案
1.
答案:B
解析:令x=1即得各项系数和,所以各项系数和为-1.
2.
答案:C
3.
答案:6
解析:由图知,4+a=10,解得a=6.
4.
答案:1,6,15,20,15,6,1
新知合作探究
探究点1杨辉三角
知识详解
1.当n依次取1,2,3,…时,展开式的二项式系数如图.
上图中的表叫作二项式系数表,历史上也称为杨辉三角.
2.上表中每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和.事实上,设表中任意一个不为“1”的数为,那么它“肩上”的两个数分别为和,由组合数的性质2得到:.
3.杨辉三角的第n行中的数对应于展开式的二项式系数.
典例探究
例1根据杨辉三角,写出的二项式系数.
解析根据杨辉三角的规律直接写出.
答案从杨辉三角知道,的各二项式系数为1,6,15,20,15,6,1.根据其规律,有
所以的各二项式系数为1,9,36,84,126,126,84,36,9,1.
变式训练1根据杨辉三角,求的展开式中第3项的系数.
答案从杨辉三角知道,的各二项式系数为1,6,15,20,15,6,1.根据其规律,有
所以的各二项式系数为1,7,21,35,35,21,7,1,则的展开式中第3项的系数为21×25=672.
探究点2二项式系数的对称性
知识详解
根据杨辉三角,在二项展开式中,与首末两端等距离的两个二项式系数相等,这一性质可以直接由得到.根据二项式系数相等的两项,很容易求出的值,进而可以求出二项展开式的每一项.
典例探究
例2在的展开式中,第3项和第4项的二项式系数相等,则展开式中含x项的系数是______.
解析在的展开式中,第3项和第4项的二项式系数相等,则,所以n=2+3=5.
的展开式的通项为,
令,可得k=3,因此,展开式中含x项的系数是.
答案
变式训练2在的展开式中,第3项与第7项的二项式系数相等,则展开式中含项的系数为______.
答案56
解析由题意得,令8-2k=-2k=5,因此,展开式中含项的系数为.
探究点3二项式系数之和
知识详解
在的展开式中,所有二项式系数之和与a,b无关,仅仅取决于n,一定有
(1)；
(2).
注意:二项式系数与某项的系数不是同一个概念.
典例探究
例3已知的展开式中所有二项式系数之和等于128,那么展开式中含项的系数是()
A.-84
B.-14
C.14
D.84
解析因为二项式系数之和等于128,所以,解得n=7,
所以二项展开式的通项为,令14-3k=-1,解得k=5,
所以展开式中含项的系数为.
答案A
变式训练3在的展开式中,x2的系数为______；所有二项式系数之和为______.
答案648
解析的展开式的通项为,令3-k=2,解得k=1,所以x2的系数为,所有二项式系数之和为.
易错易混解读
例的展开式中x的奇次方项的系数和与x的偶次方项的系数和各是多少？
错解1因为二项展开式中奇次方项的系数和与偶次方项的系数和相等,所以奇次方项的系数和与偶次方项的系数和各为.
错解2由二项展开式知x的奇次方项的系数和为,x的偶次方项的系数和为.
错因分析错解1主要是没看清题意,将项的系数和与二项式系数和混淆了；错解2解法欠妥,数据都对,但错解2中的和很难求出,其原因是没把握住求和与系数和的根本方法.
正解设x的奇次方项的系数和为A,x的偶次方项的系数和为B,则令
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